Решение квадратных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) матричным методом и по правилу Крамера

 

Пусть задана система вида:

(11)

Запишем квадратную матрицу системы размерности :

, матрицу-столбец из неизвестных , и матрицу-столбец из свободных коэффициентов .

В этих обозначениях система (11) примет вид:

.

(12)

Если , то решение матричного уравнения (12) следующее:

.

(13)

Заметим, что , т.е. – матрица такой же размерности, что и . Формула для обратной матрицы .

Решение:

.

Тем самым мы получили формулы Крамера:

.

(14)

для СЛАУ (11), где главный определитель системы , а – вспомогательные определители (получающиеся из главного заменой -го столбца на столбец из свободных коэффициентов). Например

можно обозначить .

 

Теорема 1 (Крамера).

СЛАУ (11) можно привести к виду:

.

(15)

Тогда возможны три случая:

1. Если главный определитель , то система (11) имеет единственное решение:

, где .

2. Если , а хотя бы один , то система не совместна (решений не имеет), поскольку имеется противоречивое уравнение .

3. Если и все , то система имеет бесконечное число решений.

 

1.7. Метод Гаусса

Для систем произвольного вида

, где

(16)

(прямоугольных), где число уравнений не совпадает с числом неизвестных, применяется общий метод последовательного исключения (МПИ) неизвестных, основанный на элементарных преобразованиях типа:

1) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;

2) прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число, отличное от нуля;

3) перестановка местами двух уравнений системы.

Такие преобразования системы не изменяют множество ее решений и называются преобразованиями типа Гаусса. Заметим, что, выполняя преобразования 1–3 над уравнениями системы, соответствующие элементарные преобразования производятся над строками расширенной матрицы системы:

.

Поэтому на практике экономичней проводить МПИ в матричной форме. После конечного числа шагов элементарных преобразований приходим к матрицам вида:

а)

или

б)

В случае а) система примет треугольную форму и будет иметь единственное решение, а в случае б) система примет трапециевидную форму и будет иметь множество решений.

Заметим, что если на некотором шаге появится строка , , то система будет несовместной, т.е. не будет иметь решений.

Нахождение неизвестных из преобразованной (треугольной или трапецевидной) системы идет снизу вверх и называется обратным ходом в методе Гаусса.

 

Метод Жордановых исключений

 

В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса, с помощью которых приводим матрицу системы к единичной . Тогда расширенная матрица СЛАУ

примет вид:

.

Автоматически получим решение СЛАУ: (см. пример 11).

 

При решении СЛАУ методом Жордановых исключений удобно расширенную матрицу системы записывать в виде следующей таблицы:

 

 

1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

 

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом этой матрицы и обозначается . Для вычисления ранга матрицы применяем метод окаймляющих миноров.

 

Например, задана матрица

Находим ее окаймляющие миноры:

; ; .

Окаймляющий минор 3-го порядка равен нулю, следовательно ранг равен порядку предыдущего минора , т. е. .

Замечание. Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минором . Если у матрицы найдется минор , а все окаймляющие его миноры , то .

Рассмотрим произвольную систему вида (16)

Основная матрица этой системы , а расширенная , где _, . Система (16) будет совместной (т.е. будет иметь решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы этой системы, т.е.

 

.

 

Это и есть теорема Кронекера–Капелли.

Для ранга системы возможны два случая:

1) если общий ранг равен числу неизвестных , то система (16) будет иметь единственное решение;

2) если , то система (16) будет иметь бесконечное число решений.

Если же , то система (16) несовместна, т.е. не имеет решений.

 

Пример 11

Выяснить совместность системы и найти ее решение.

Решение

Система является переопределенной: число уравнений больше числа неизвестных . Запишем основную и расширенную матрицы системы:

и

Методом окаймляющих миноров найдем ранги этих матриц:

, , .

Так как основная матрица не имеет минора 4-го порядка, то ее ранг равен 3, т.е. .

Для расширенной матрицы считаем окаймляющий минор:

.

Следовательно, ранг расширенной матрицы равен 3, т.е. . Тогда, по теореме Кронекера–Капелли, исходная система имеет единственное решение, т.к. .

Найдем это решение методом Жордановых исключений:

+ ~ ~

 

~ + ~ – + ~ ~

 

~

Ответ: система имеет единственное решение .

 

1.10. Однородные системы

 

Система вида

, (17)

где _, называется однородной. Она всегда совместна, поскольку набор значений неизвестных удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение называется тривиальным, в остальных случаях:

1) однородная система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных;

2) если в однородной системе число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение;

3) однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю;

4) пусть наборы и являются решениями однородной системы, тогда их линейная комбинация – также решение однородной системы (17).

Из числа решений однородной системы (17) всегда можно построить конечную линейно независимую систему решений, причем такую, что всякое другое решение системы (17) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту построенную систему. Такую систему решений называют фундаментальной.

 

Теорема 2. Если ранг , то всякая фундаментальная система решений однородной системы (17) будет состоять из решений.

 

Пример 12

Построить фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Решение

Выясним ранг системы, т.е. запишем матрицу

и вычислим миноры:

; ;

;

.

Следовательно, ранг системы равен 2, т.е. . А значит, система имеет ненулевые решения и, по теореме 2 фундаментальная система решений будет состоять из линейно независимых решений. При этом базисный минор и тогда однородная система равносильна системе из 2-х уравнений:

где и (при базисном миноре) являются основными (или базисными) переменными, а и – свободными, принимающими любые действительные значения.

По формуле Крамера находим и , где ,

, .

Получаем решение исходной однородной системы в виде

; , где . Полагаем для свободных переменных и и находим 2 линейно независимых решения: и .

 

Все решения однородной системы получаются как линейная комбинация: ; – любые действительные числа.

Замечание. Геометрически полученное решение в 4-х мерном пространстве изображается 2-х мерной плоскостью, т.к. ее параметрические уравнения имеют вид:

, , , где .

 

II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

 

2.1. n – мерные векторные пространства

 

Упорядоченная совокупность действительных чисел, записанных в виде , называется – мерным вектором, где -я компонента. Два –мерных вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: .

 

Операции над –мерными векторами

Пусть и , тогда

1) – сложение векторов;

2) – умножение вектора на число.

Операции 1–2 называются линейными и удовлетворяют следующим свойствам:

1) – коммутативность;

2) – ассоциативность;

3) – дистрибутивность;

4) существует нуль–вектор такой, что ;

5) для любого найдется противоположный , такой, что .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1–5, называется векторным пространством. Если под рассматривать объекты любой природы (например алгебраические многочлены степени не выше ), то соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Линейное пространство называется – мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые векторов уже линейно зависимы.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т.е. . Совокупность линейно независимых векторов –мерного пространства называется базисом.

Замечание. Векторы пространства называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , неравные одновременно нулю, что

.

(18)

В противном случае векторы являются линейно независимыми, т.е. равенство (18) выполняется только при .

Любой вектор линейного пространства можно представить и при том единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть образуют базис в , тогда называется разложением вектора по базису , а числа – координаты вектора относительно этого базиса.

Пусть заданы два базиса: – «старый» и – «новый». Разложим вектор по этим базисам:

,

.

Найдем связь «старых» и «новых» координат вектора . Для этого запишем:

и подставим в :

Из равенства векторов получим:

.

Отсюда замечаем, что матрица, по столбцам которой стоят координаты базисных векторов , является матрицей перехода от «старого» базиса к «новому» базису.

Обозначим ее через и получим замену «старых» координат «новыми»:

, где . Обратно, замена «новых» на «старые» координаты будет осуществляться с помощью обратной матрицы: .

 

Линейные операторы

 

Если указано правило, по которому вектору ставится в соответствие единственный вектор , то говорят, что задан оператор , такой, что

.

Он обладает свойствами:

1) – аддитивность;

2) – однородность,

и называется линейным оператором.

При этом вектор называют образом вектора , а сам вектор – прообразом вектора . Мы рассматриваем только случай, когда оператор задается матрицей , где _{, ,} поэтому для него справедливы свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) существует нулевой оператор , такой, что ;

5) существует тождественный оператор , такой, что .

Если и , то , где . Действительно, и . Это есть свойство транзитивности линейного оператора.

 

Теорема 3. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением

,

(19)

где – матрица перехода от «старого» базиса к «новому» базису .

 

Доказать теорему самостоятельно.

 

Пример 13

В базисе линейный оператор задан матрицей . Найти матрицу оператора в базисе .

Решение

Составим матрицу перехода от «старого» базиса к «новому» , по столбцам которой стоят координаты векторов и :

.

Тогда по формуле получим вид матрицы линейного оператора в «новом» базисе. Для этого построим обратную матрицу , где . Алгебраические дополнения: , , , , отсюда . Находим

Ответ: матрица линейного оператора в «новом» базисе имеет вид .