I. Введение в линейную алгебру. Краткий обзор

I. ВВЕДЕНИЕ В ЛИНЕЙНУЮ АЛГЕБРУ. КРАТКИЙ ОБЗОР

 

Матрицы. Начальные сведения

 

Рассматриваем новый математический объект – матрицу. Это абстрактная таблица, состоящая из строк и столбцов вида:

,

(1)

где – элементы матрицы, стоящие на пересечении -ой строки и -го столбца. Элементы могут быть любой природы (числа, многочлены, функции и др.) При этом говорят, что матрица имеет размерность , и кратко записывают , где , .

Если число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Например, – прямоугольная, а – квадратная матрица.

Элементы , , ,…, образуют главную диагональ в матрице . Если ниже главной диагонали стоят нулевые элементы, то матрица называется треугольной, например

Матрица вида		называется трапециевидной.

Если вне главной диагонали стоят нулевые элементы, то матрица называется диагональной, например

Матрица вида		является единичной.

Матрица, состоящая только из нулевых элементов, называется нулевой матрицей:

Если элементы матрицы, стоящие на симметричных местах относительно главной диагонали совпадают: , то такая матрица называется симметрической.

Например

Матрица вида называется матрицей-строкой, а матрица вида называется – матрицей-столбцом.

 

Операции над матрицами

 

Сложение матриц и умножение матрицы на число называются линейными операциями. Они выполняются по следующим правилам:

1. , где .

2. , где .

 

Пример 1

.

 

3. Умножение матриц выполняется по следующей схеме:

, где .

Заметим, что в левой матрице число столбцов совпадает с числом строк в правой матрице. Только в этом случае операция умножения возможна.

 

Пример 2

 

Пример 3

 

Замечание. В общем случае умножение матриц неперестановочно, т.е. . Однако, можно подобрать две квадратные матрицы, чтобы , в этом случае говорят, что матрицы коммутируют.

 

Пример 4

, ,

;

.

 

4. Матрицы можно возводить в степень, причем только квадратные, т.е. число столбцов должно соответствовать числу строк.

 

5. Рассмотрим еще одну операцию над матрицами – транспонирование. При транспонировании матрицы ее строки и столбцы меняются местами с сохранением порядка. Обозначается или . Транспонировать можно матрицы любой размерности.

 

Пример 5

.

 

Определители квадратных матриц

 

Прежде чем ввести операцию обращения матриц , необходимо дать понятие определителя квадратной матрицы. Для квадратной матрицы размера 2×2 определителем является число Δ, получающееся по формуле

 

(2)

 

Таким образом, , где – первые три буквы от латинского determinantis (определитель). Так легко получается детерминант 2-го порядка.

 

Пример 6

.

 

Однако для матрицы размера 3×3 определитель строится сложнее:

(3)

 

Для простоты запоминания пользуются следующими схемами:

первые три суммы	последние три суммы

Схема называется правилом треугольников.

Модифицируем его, т.е. распрямим треугольники.

– схема Саррюса.

(4)

Если квадратная матрица имеет размер 4×4 и выше, то для вычисления ее определителя применяется правило Лапласа:

 

где: ,

(5)

т.е. детерминант матрицы равен сумме произведений элементов -ой строки (или -го столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

При этом – минор (определитель -го порядка), получающийся из матрицы вычеркиванием -ой строки и -го столбца, – алгебраическое дополнение к элементу .

Заметим, что правило Лапласа позволяет определители -го порядка вычислять через определители -го порядка.

 

Пример 7

 

Замечание. Если определитель матрицы приведен к треугольному виду

,

то его значение равно произведению элементов, стоящих по главной диагонали, т.е. . Это автоматически следует из правила Лапласа.

Отметим элементарные преобразования (Э.П.) над строками определителя, которые не меняют его значения:

1) вынесение общего множителя строки за знак определителя;

2) прибавление к одной строке элементов другой строки;

3) прибавление к одной строке элементов другой, умноженных на некоторое число.

 

Пример 8

+ =

 

+

 

 

Замечание 1. Такие же Э.П. можно выполнять и над столбцами определителя.

Замечание 2. Определитель

и называется определителем Вандермонда.

Студентам предлагается доказать это самостоятельно.

 

Нахождение обратной матрицы

 

Теперь можно перейти к обращению квадратных матриц. В этом случае должен быть отличным от нуля, и матрица является невырожденной. Для такой матрицы существует обратная матрица , причем дает единичную матрицу. Легко показать, что обратная матрица имеет вид:

,

(6)

где – алгебраические дополнения элементов исходной матрицы:

поскольку

Предлагаем студентам самостоятельно это проверить.

Замечание. Обратную матрицу можно построить с помощью элементарных преобразований по следующей схеме:

 

.

(7)

 

Пример 9

С помощью элементарных преобразований провести обращение матрицы

.

Решение

+ – ~ + ~

~ + ~ ~

~ + ~ + ~

~ .

Действительно,

.

 

Решение матричных уравнений

 

Пусть задано уравнение

,

(8)

 

где матрица квадратная с . Тогда умножим слева заданное равенство на и получим

или

(9)

 

Заметим, что если размерность матрицы есть , то искомая матрица имеет такую же размерность, что и , поскольку

Аналогично решается уравнение

при этом

.

(10)

 

Пример 10

Решить матричное уравнение

.

Решение

Имеем уравнение , где , . Находим , тогда .

Вычислим алгебраические дополнения матрицы :

Таким образом, .

Сделаем проверку: .

Искомое решение: .

Проверить, что дает матрицу .

 

Метод Жордановых исключений

 

В основе метода Жордановых исключений лежат элементарные преобразования типа Гаусса, с помощью которых приводим матрицу системы к единичной . Тогда расширенная матрица СЛАУ

примет вид:

.

Автоматически получим решение СЛАУ: (см. пример 11).

 

При решении СЛАУ методом Жордановых исключений удобно расширенную матрицу системы записывать в виде следующей таблицы:

 

 

1.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли

 

Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом этой матрицы и обозначается . Для вычисления ранга матрицы применяем метод окаймляющих миноров.

 

Например, задана матрица

Находим ее окаймляющие миноры:

; ; .

Окаймляющий минор 3-го порядка равен нулю, следовательно ранг равен порядку предыдущего минора , т. е. .

Замечание. Минор порядка , содержащий в себе минор порядка , называется окаймляющим минором . Если у матрицы найдется минор , а все окаймляющие его миноры , то .

Рассмотрим произвольную систему вида (16)

Основная матрица этой системы , а расширенная , где _, . Система (16) будет совместной (т.е. будет иметь решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы совпадает с рангом расширенной матрицы этой системы, т.е.

 

.

 

Это и есть теорема Кронекера–Капелли.

Для ранга системы возможны два случая:

1) если общий ранг равен числу неизвестных , то система (16) будет иметь единственное решение;

2) если , то система (16) будет иметь бесконечное число решений.

Если же , то система (16) несовместна, т.е. не имеет решений.

 

Пример 11

Выяснить совместность системы и найти ее решение.

Решение

Система является переопределенной: число уравнений больше числа неизвестных . Запишем основную и расширенную матрицы системы:

и

Методом окаймляющих миноров найдем ранги этих матриц:

, , .

Так как основная матрица не имеет минора 4-го порядка, то ее ранг равен 3, т.е. .

Для расширенной матрицы считаем окаймляющий минор:

.

Следовательно, ранг расширенной матрицы равен 3, т.е. . Тогда, по теореме Кронекера–Капелли, исходная система имеет единственное решение, т.к. .

Найдем это решение методом Жордановых исключений:

+ ~ ~

 

~ + ~ – + ~ ~

 

~

Ответ: система имеет единственное решение .

 

1.10. Однородные системы

 

Система вида

, (17)

где _, называется однородной. Она всегда совместна, поскольку набор значений неизвестных удовлетворяет всем уравнениям системы. Это решение называется тривиальным, в остальных случаях:

1) однородная система будет иметь ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных;

2) если в однородной системе число уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет ненулевое решение;

3) однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю;

4) пусть наборы и являются решениями однородной системы, тогда их линейная комбинация – также решение однородной системы (17).

Из числа решений однородной системы (17) всегда можно построить конечную линейно независимую систему решений, причем такую, что всякое другое решение системы (17) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту построенную систему. Такую систему решений называют фундаментальной.

 

Теорема 2. Если ранг , то всякая фундаментальная система решений однородной системы (17) будет состоять из решений.

 

Пример 12

Построить фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений:

Решение

Выясним ранг системы, т.е. запишем матрицу

и вычислим миноры:

; ;

;

.

Следовательно, ранг системы равен 2, т.е. . А значит, система имеет ненулевые решения и, по теореме 2 фундаментальная система решений будет состоять из линейно независимых решений. При этом базисный минор и тогда однородная система равносильна системе из 2-х уравнений:

где и (при базисном миноре) являются основными (или базисными) переменными, а и – свободными, принимающими любые действительные значения.

По формуле Крамера находим и , где ,

, .

Получаем решение исходной однородной системы в виде

; , где . Полагаем для свободных переменных и и находим 2 линейно независимых решения: и .

 

Все решения однородной системы получаются как линейная комбинация: ; – любые действительные числа.

Замечание. Геометрически полученное решение в 4-х мерном пространстве изображается 2-х мерной плоскостью, т.к. ее параметрические уравнения имеют вид:

, , , где .

 

II. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

 

2.1. n – мерные векторные пространства

 

Упорядоченная совокупность действительных чисел, записанных в виде , называется – мерным вектором, где -я компонента. Два –мерных вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты: .

 

Операции над –мерными векторами

Пусть и , тогда

1) – сложение векторов;

2) – умножение вектора на число.

Операции 1–2 называются линейными и удовлетворяют следующим свойствам:

1) – коммутативность;

2) – ассоциативность;

3) – дистрибутивность;

4) существует нуль–вектор такой, что ;

5) для любого найдется противоположный , такой, что .

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее свойствам 1–5, называется векторным пространством. Если под рассматривать объекты любой природы (например алгебраические многочлены степени не выше ), то соответствующее множество элементов называется линейным пространством. Линейное пространство называется – мерным, если в нем существует линейно независимых векторов, а любые векторов уже линейно зависимы.

Размерность пространства – это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т.е. . Совокупность линейно независимых векторов –мерного пространства называется базисом.

Замечание. Векторы пространства называются линейно зависимыми, если найдутся такие числа , неравные одновременно нулю, что

.

(18)

В противном случае векторы являются линейно независимыми, т.е. равенство (18) выполняется только при .

Любой вектор линейного пространства можно представить и при том единственным способом в виде линейной комбинации векторов базиса. Пусть образуют базис в , тогда называется разложением вектора по базису , а числа – координаты вектора относительно этого базиса.

Пусть заданы два базиса: – «старый» и – «новый». Разложим вектор по этим базисам:

,

.

Найдем связь «старых» и «новых» координат вектора . Для этого запишем:

и подставим в :

Из равенства векторов получим:

.

Отсюда замечаем, что матрица, по столбцам которой стоят координаты базисных векторов , является матрицей перехода от «старого» базиса к «новому» базису.

Обозначим ее через и получим замену «старых» координат «новыми»:

, где . Обратно, замена «новых» на «старые» координаты будет осуществляться с помощью обратной матрицы: .

 

Линейные операторы

 

Если указано правило, по которому вектору ставится в соответствие единственный вектор , то говорят, что задан оператор , такой, что

.

Он обладает свойствами:

1) – аддитивность;

2) – однородность,

и называется линейным оператором.

При этом вектор называют образом вектора , а сам вектор – прообразом вектора . Мы рассматриваем только случай, когда оператор задается матрицей , где _{, ,} поэтому для него справедливы свойства:

1) ;

2) ;

3) ;

4) существует нулевой оператор , такой, что ;

5) существует тождественный оператор , такой, что .

Если и , то , где . Действительно, и . Это есть свойство транзитивности линейного оператора.

 

Теорема 3. Матрицы и линейного оператора в базисах и связаны соотношением

,

(19)

где – матрица перехода от «старого» базиса к «новому» базису .

 

Доказать теорему самостоятельно.

 

Пример 13

В базисе линейный оператор задан матрицей . Найти матрицу оператора в базисе .

Решение

Составим матрицу перехода от «старого» базиса к «новому» , по столбцам которой стоят координаты векторов и :

.