Тема 7. 4. Тела и поверхности вращения

Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения параллельные основанию.

Шар и сфера, их сечения. Эллипс, гипербола, парабола как сечения конуса. Касательная плоскость к сфере. Сфера, вписанная в многогранник, сфера, описанная около многогранника.

Цилиндрические и конические поверхности.

Определение. Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное прямоугольником, вращающимся вокруг одной из его сторон.

Неподвижная сторона этого прямоугольника называется осью и высотой полученного цилиндра. Противолежащая сторона образует при вращении цилиндрическую поверхность и называется образующей цилиндра, а две другие стороны этого прямоугольника образуют два круга, называемые основаниями цилиндра.

Прямым круговым конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Неподвижный катет называется осью и высотой конуса, другой катет образует круг, называемый основанием конуса, а гипотенуза образует коническую поверхность и называется образующей конуса.

Прямым круговым усеченным конусом называется тело, полученное вращением прямоугольной трапеции вокруг ее боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Неподвижная боковая сторона этой трапеции называется осью и высотой, а вращающаяся боковая сторона — образующей усеченного конуса (она образует его коническую поверхность). Основания трапеции образуют два неравных круга, называемые основаниями усеченного конуса.

Сечение цилиндра плоскостью

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет прямоугольник.

Осевым сечением называется сечение, которое проходит через ось цилиндра.

Теорема. Плоскость, параллельная плоскости основания цилиндра, пересекает его боковую поверхность по окружности, равной окружности основания.

Осевое сечение конуса

Сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину

Сечение конуса плоскостью, параллельной его основанию

Плоскость, параллельная плоскости основания конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по окружности с центром на оси конуса.

Касательная плоскость к конусу

Определение: касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Сферой называется множество всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние (рис. 11). Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, называется радиусом сферы. Радиусом сферы называют также расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы, как и для окружности, определяются хорды и диаметр.

Шаром называется множество всех точек пространства, расстояние от каждой из которых до данной точки – центра шара – не превосходит данного положительного числа, которое называется радиусом шара.

Шар и куб – примеры геометрических тел, сфера и плоскость – примеры поверхностей.

Плоскость, имеющая со сферой (шаром) одну общую точку, называется касательной плоскостью, более одной общей точки — секущей плоскостью.

 

Прямая, имеющая со сферой одну общую точку, называется касательной прямой, две общие точки — секущей прямой.

Свойство касательной плоскости

Плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна диаметру (радиусу), проходящему через точку касания.