Глава 12. Элементы теории поверхностей.

ГЛАВА 12. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Раннее мы встречались с поверхностями, задаваемыми либо в явном виде z=f(x,y), либо в неявном виде F(x,y,z)=0.

Рассмотрим более общий случай задания поверхности.

Df.1 Пусть - область, - замыкание области.

Поверхностью П в пространстве непрерывное отображение области в пространство :

 

V z П

 

 

U y

x

Df.2 Пусть П задана ….. (1), . Тогда поверхность класса , если имеет в области непрерывные производные до «n – го» порядка включительно, т.е.:

или ; .

Уравнение (1) эквивалентно трем уравнениям:

(2)

. Уравнения (1) и (2) называются параметризацией поверхности П. Напомним, что под производными понимаются вектора:

(3)

Более сокращенно

Также определяются производные высших порядков , где .

Пусть . Составим матрицу Якоби.

(4)

Матрица Якоби отображение .

Df.3 П называется гладкой, если и . Т.к. линейная независимость строк не коллинеарны, т.е. .

Но (5)

А, В, С – миноры матриц второго порядка.

Тогда . Рассмотрим точку , причем .

Если зафиксировать , то получим параметрическое уравнение линии:

(6)

При фиксированном , получаем линию:

(7)

Линии (6) и (7) образуют два семейства линий на поверхности П.

(Сравним с отображением плоских областей).

V z

 

 

Как известно касательные вектора к этим линиям в точке получены следующим образом: к линии

К линии

Для касательной плоскости – эти вектора направляющие нормальный вектор:

(8)

НАПРИМЕР.

,

(9)

П

0

D

x

 

Кроме гладких поверхностей будем рассматривать кусочно-гладкие.

Df.4 П – называется кусочно-гладкой поверхностью, если можно разбить на конечное число гладких поверхностей. Причем эти части имеют общими только куски границы.

ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ.

Остановимся на понятии ориентированной поверхности. Пусть гладкая.

z

D П

 

x y

Тогда .

Внешней стороной поверхности П назовем ту сторону, которая соответствует положительному направлению вектора .

Противоположная сторона – внутренняя, она соответствует вектору «».

Если на поверхности можно выбрать внешнюю и внутреннюю стороны, то она называется двусторонней.

Выбрать сторону задать ориентацию (ориентировать) поверхности.

Существуют неориентированные (не двусторонние) поверхности.

ПРИМЕР.Лист Мебиуса (немецкий математик 1790-1868 год). Если склеить прямоугольник так, чтобы А совпала с В’, а В совпала с А’, получится поверхность, называемая листом Мебиуса. При обходе по листу Мебиуса нормаль меняет направление на противоположное.

В В’

А А’

 

У двусторонней поверхности при обходе замкнутого контура вектор возвращается в первоначальное положение, для неориентированных - в противоположное.

Для двусторонней поверхности можно согласовать сторону поверхности с направлением обхода любого замкнутого контура .

Пусть - замкнутый контур D.

- замкнутый контур П.

.

Если система координат (U,V) – правая, то при обходе против часовой стрелки, - обходится против часовой стрелки, если смотреть с внешней стороны поверхности (с конца вектора ).

В частности при z=z(x,y).

z П

Т.к. -острый,

y

x D

Т.е. внешней соответствует сторона, у которой . Очевидно, граница П. П называется двусторонней, если она удовлетворяет следующим условиям:

можно так выбрать ориентацию (сторону) ее гладких кусков, что общие части ориентации кусков обходятся в разных направлениях.

 

 

 

ФОРМУЛА СТОКСА.

Df.1 Пусть , - область, векторное поле . Ротором (вихрем) векторного поля называется:

(1)

(1) операторная форма записи . Для того, чтобы получить обычную запись необходимо рассмотреть определитель. При этом нужно понимать:

и т.д. Тогда:

Очевидно, операция ставит в соответствие векторному полю векторное поле , определенное в G.

Th.1 (ТЕОРЕМА СТОКСА)

Пусть , G – область. - кусочно-гладкая; - кусочно-замкнутый контур, ограничивающий П. Тогда:

(3)

(3) – формула Стокса.

(Б/д).

 

 

 

При этом сторона поверхности и направление обхода контура согласованы. Как правило, обычно выбирается внешняя сторона П.

Th.2 (ТЕОРЕМА ГРИНА)

Пусть , - область, - кусочно-гладкая граница D, ориентированная против часовой стрелки; , тогда:

(4)

(4) – формула Грина.

(Б/д).

Покажем, что (4) – есть частный случай формулы Стокса. Причем это нельзя считать доказательством, т.к. при доказательстве (3) используется (4).

Итак: плоскость П зададим так: .

 

 

 

D=П =

Тогда , кроме того .

Из (3)

(по теореме о сведении поверхностного интеграла II-го рода к двойному)

Здесь , очевидно , т.е. С=1. Итак:

СЛЕДСТВИЕ ИЗ Th.1

Пусть , G -область, определен в G и инвариантен относительно системы координат.

Доказательство:

Г

D ● ● G

П

 

 

Рассмотрим направление, задаваемое . П – плоскость, перпендикулярная , проходящая через точку .

Пусть D – поверхность: .

Г – граница (кусочно-гладкая) поверхности D. Направление обхода D согласовано с . Применим формулу Стокса для поверхности D с нормалью и границей Г:

где = , - проекция на направление . По теореме о среднем для поверхностного интеграла I-го рода:

, что

(*)

Отметим, что - непрерывное векторное поле.

Перейдем в (*) к пределу при (, ). В силу непрерывности найдем:

Т.к. и не зависят от выбора системы координат, то не зависит от выбора системы координат инвариантен относительно выбора системы координат. (Достаточно взять три неколлинеарных вектора и считать, что , проекции на . Есть его координаты).

СЛЕДСТВИЕ 2.

Пусть (т.е. и они непрерывны в G) определяет соленоидальное поле в G, т.е. .

САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Действительно .

: .

 

 

СИМВОЛИКА ГАМИЛЬТОНА.

 

В предыдущих параграфах мы ввели понятия: вектора , характеризующего скорость изменения скалярного поля; производную по направлению , характеризующую скорость изменения величины в направлении l; скаляра , вектора , характеризующих плотность источников и вращательную способность векторного поля. Были указаны формулы для вычисления этих величин в декартовых координатах.

Пусть - скалярное поле, - векторное поле.

1)

Где - единичный вектор в направлении .

2) - скаляр.

3) - вихрь вектора , являющийся вектором.

Известным английским математиком Гамильтоном было замечено, что все эти (и многие другие) операции можно записать кратко при помощи следующего символического вектора – оператора (читается «набла», оператор Гамильтона).

Проекции символического вектора оператора Гамильтона – суть.

.

Сам вектор не имеет реального смысла, но результат его применения, как оператора к скалярным или векторным функциям (величинам) дает вполне реальную физическую величину.

Тогда символически (обращаясь с как с вектором в прямоугольной декартовой системе координат и понимая запись ) операции 1), 2), 3) которые называют операциями I-го порядка можно записать в виде:

1)

Таким образом, под символическим произведением вектора на скаляр понимается вектор с координатами:

2)

3) Найдем векторное произведение символического вектора:

на вектор - есть вектор.

=

= - это вектор, который называют вихрем поля . от английского слова - вращение.

Производную по направлению можно записать в виде:

и вообще .

Таким образом, операции первого порядка могут быть единообразно записаны с помощью символического вектора набла.

УТВЕРЖДЕНИЕ. Векторные операции I-го порядка линейны относительно своих аргументов.

Доказательство:

Следует из линейности дифференцирования и скалярного и векторных произведений.

НАПРИМЕР.

и

Заметим также, что соотношения, содержащие не зависят от выбора системы координат (это доказано для ).

Многие формулы векторного анализа легко выводятся при использовании символического вектора . Нужно понимать, что на функции и векторы, стоящее справа от , этот оператор действует как дифференциальный, а функции и векторы, стоящие слева от , перемножаются с как с обычным вектором по правилам векторной алгебры. В результате такого умножения получается новый дифференциальный оператор.

Применяя, оператор к произведениям векторов и скаляров, будем пользоваться следующим правилом:

1. Если оператор действует на какое-либо произведение, то в первую очередь учитывается его дифференциальный характер, а затем уже векторное свойство.

2. Чтобы отметить тот факт, что не воздействует на какую-либо величину, входящую в состав сложной формулы, эту величину отмечают индексом или «стрелкой» (например ), который в окончательном результате может быть снят.

3. Все величины, на которые оператор не воздействует, в окончательном результате ставятся впереди , т.е. слева от него.

Так, например, в оператор есть оператор дифференцирования

функции одной переменной и тогда правило нахождения производной произведения сводится:

ЗАМЕЧАНИЕ.

Под дифференциальными операциями II-го порядка понимаются операции, в которых символ встречается дважды. При этом формулы векторной алгебры считаются справедливыми при замене обычного вектора символическим вектором .

Усвоим некоторые элементы техники обращения с оператором .

Вы можете проверить получающиеся формулы в координатах.

1) Пусть , тогда

2)

3)

=

4)

=

Наряду с обозначениями векторного произведения будем использовать и .

Нами будет использовано и двойное векторное произведение, известное вам из аналитической геометрии (1 семестр):

5)

= .

6)

= .

7) .

Вектор поэтому скалярное произведение равно 0, т.е. . Т.е. поле вихря вектора не имеет источников и стоков.

8) .

Т.к. векторы и параллельны, т.е. поле вектора безвихревое.

9) .

10) Наряду с используют оператор Лапласа или Лапласиан.

Df. Оператором Лапласа или Лапласианом называется закон образования дивергенции от вектора :

физический смысл. Численное значение Лапласиана определяет плотность источников (если ) или стоков (если ) векторного поля .

 

 

Справедлива формула:

, где символ , так что .

Df. Скалярное поле , удовлетворяющее условию , называется лапласовым или гармоническим полем.

Дифференциальные операции II-го порядка можно для наглядности записать в виде таблицы:

	Скалярное поле	Векторное поле
	----------------------------		----------------------------------
		-----------------
		-----------------

 

 

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ ВЕЛИЧИН ПОЛЯ

Наименование величины и обозначение	Определение или запись с помощью операторов Гамильтона и Лапласа	Формула записи в декартовых координатах
-1-	-2-	-3-
Градиент скалярного поля
Расходимость векторного поля ;
Поток векторного поля П	; в частности через замкнутую поверхность S: (Теорема Остроградского)
Ротор векторного поля ;		+
-1-	-2-	-3-
Работа (линейный интеграл) векторного поля вдоль контура ; W	где	. +
Циркуляция векторного поля вдоль контура l. Ц	.	+ + .
	+ + .

 

ГЛАВА 12. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.

Раннее мы встречались с поверхностями, задаваемыми либо в явном виде z=f(x,y), либо в неявном виде F(x,y,z)=0.

Рассмотрим более общий случай задания поверхности.

Df.1 Пусть - область, - замыкание области.

Поверхностью П в пространстве непрерывное отображение области в пространство :

 

V z П

 

 

U y

x

Df.2 Пусть П задана ….. (1), . Тогда поверхность класса , если имеет в области непрерывные производные до «n – го» порядка включительно, т.е.:

или ; .

Уравнение (1) эквивалентно трем уравнениям:

(2)

. Уравнения (1) и (2) называются параметризацией поверхности П. Напомним, что под производными понимаются вектора:

(3)

Более сокращенно

Также определяются производные высших порядков , где .

Пусть . Составим матрицу Якоби.

(4)

Матрица Якоби отображение .

Df.3 П называется гладкой, если и . Т.к. линейная независимость строк не коллинеарны, т.е. .

Но (5)

А, В, С – миноры матриц второго порядка.

Тогда . Рассмотрим точку , причем .

Если зафиксировать , то получим параметрическое уравнение линии:

(6)

При фиксированном , получаем линию:

(7)

Линии (6) и (7) образуют два семейства линий на поверхности П.

(Сравним с отображением плоских областей).

V z

 

 

Как известно касательные вектора к этим линиям в точке получены следующим образом: к линии

К линии

Для касательной плоскости – эти вектора направляющие нормальный вектор:

(8)

НАПРИМЕР.