Потенциальные и векторные поля.

Пусть векторное поле непрерывно в G; /

Df.1 Выражение (1) называется полным дифференциалом в G, если , что:

(2)

т.к. , то (1) – полный дифференциал если и

(3)

Напомним, что для :

(4)

Тогда очевидна следующая Лемма:

(1) – полный дифференциал и .

Доказательство следует из (3) и (4).

Имеют место следующие утверждения:

1) полный дифференциал в G.

2) , что .

3) не зависит от формы пути, - кусочно-гладкая.

4) - замкнутого кусочно-гладкого, :

Df.2 G - область. Обозначим D – область в G, - граница области (замкнутый простой контур в или поверхность в ). Тогда G – односвязная .

 

 

Односвязное

G D

G

Неодносвязное

Th.1 Пусть векторное поле определено в односвязной области G, , тогда условия (1), (2), (3) и (4) равносильны.

Доказательство:

Для доказательства введем два вспомогательных утверждения:

(3’) - ломанной, не зависит от формы пути.

(4’) - замкнутой простой ломанной, .

Доказательство проведем по следующей схеме:

 

(1)

 

(3’) (4’)

Отсюда будет следовать, что все условия эквивалентны.

Отметим, что (1) (2) доказано Леммой. Далее ограничимся рассмотрением плоского случая, т.е. .

а) (1) (3)

Дано: - полный дифференциал, т.е. , что .

●

●

Пусть - гладкая кривая. .

= =

= .

Пусть теперь - кусочно-гладкая:

 

+ .

Таким образом, также дается формула вычисления , если подынтегральное выражение полный дифференциал.

б) (3) (4)

Пусть не зависят от формы пути. Рассмотрим любой контур Г – замкнутый кусочно-гладкий, .

 

●

● ●

●

 

По свойству кратного интеграла II-го рода не зависит от начальной точки. , тогда: .

в) (4) (4’)

Это очевидно, т.к. замкнутая ломанная – частный случай кусочно-гладкой кривой.

г) (4’) (3’)

Ограничимся случаем непересекающихся ломанных.

Дано: - замкнутой ломанной .

Доказать: - ломанной, соединяющей A и B не зависит от формы пути.

Пусть - две произвольные ломанные, тогда:

разобьем: .

Можно доказать, что все останется в силе, если ломанные пересекаются.

 

д) (3’) (1)

Дано: - ломанной, не зависит от формы пути.

Доказать: что

 

Доказательство существования проведем построением.

 

● ●

0 x

, т.к. G открыто, то , что

. Возьмем . Определим

= . Это можно сделать, т.к. интеграл не зависит от формы пути и при фиксированной точке А зависит только от конечной точки В(x,y).

Найдем:

= .

Т.к. Р(x,y) непрерывная в G следовательно по теореме о среднем:

, причем при ,

.

Аналогично показывается, что полный дифференциал.

 

СЛЕДСТВИЕ.

Доказательство теоремы позволяет установить метод отыскания U(x,y,z).

Пусть .

 

 

●

 

●

 

● ●

 

+

.

Df.3 Векторное поле , определенное в G, называется потенциальным, если оно удовлетворяет любому из равносильных условий (1), (2), (3) и (4); U называют потенциалом (потенциальной функцией) поля .

Очевидно, что U(M) определяется с точностью до константы.

Th.2 Пусть , G – односвязная область. Тогда потенциально в G .

Доказательство:

Необходимость.

Пусть потенциально в G. - замкнутая кусочно-гладкая граница: .

- произвольный нормальный вектор из точки к плоскости, содержащей кривую Г.

 

●

 

По инвариантному определению :

Т.к. произвольного направления, то пусть

.

Достаточность.

Пусть . - замкнутой - поверхность, что (по теореме Стокса) - потенциально.

Df.4 Пусть векторное поле называется бизвихревым в G если .

Тогда теорему 2 можно переформулировать (перефразировать) следующим образом:

- потенциальное безвихревое.

Таким образом, отсутствие вихрей является и необходимым и достаточным условием потенциальности поля.

Следует отметить, что необходимым и достаточным условием потенциальности поля является также равенство нулю циркуляции поля по любому замкнутому контуру.

Следует иметь ввиду, что приведенные выше рассуждения справедливы только в случае, когда поле определено во всех внутренних точках контура Г. Если же хотя бы в одной внутренней точке некоторого замкнутого контура поле не определено, то циркуляция по этому контуру может и не обращаться в нуль, хотя поле и потенциально.

Рассмотрим еще одно векторное поле – так называемое соленоидальное, или трубчатое поле.

 

Df.5 Поле вектора называется соленоидальным или трубчатым, если в каждой точке поля .

Или имея в виду физический смысл , можно сказать, что соленоидальное поле – это такое поле, в котором нет источников и стоков.

Примером соленоидального поля является поле вихря вектора .

 

Основное свойство соленоидального поля состоит в том, что в нем векторные линии не могут нигде ни начинаться, ни кончаться, они могут уходить в бесконечность или быть замкнутыми.

ПРИМЕР.

Проверить на потенциальность поле: . Найти потенциал и вычислить , где и .

Решение:

Очевидно, - имеют производные любого порядка в , т.е. .

а) Проверка потенциальности:

= поле потенциально.

б) Определяем потенциал:

1 способ.

z

 

●

● ●

= , где .

 

2 способ.

;

;

;

Итак:

.

в) .