Формула Остроградского – Гаусса.

Пусть - область. В G задано векторное поле .

В декартовой системе координат .

Df.1 , т.е. существуют все частные производные и они непрерывны в G.

Df.2 Дивергенцией (расходимостью) векторного поля в точке M(x,y,z) называется скаляр:

(1)

Отметим, что операция ставит в соответствие векторному полю скалярное поле , определенное в G.

Дивергенция в заданной точке характеризует мощность источников и стоков в данной точке.

Те точки, где > 0 называются источниками поля, а те где < 0 – стоками.

 

Абсолютная величина дивергенции характеризует производительность (интенсивность) источников и стоков. Если , то в точке М нет ни источника, ни стока.

Th.1 (ОСТРОГРАДСКОГО - ГАУССА)

Пусть область можно представить в виде объединения конечного числа областей , каждая из которых является одновременно:

и -цилиндром,

и - цилиндром,

и -цилиндром,

- кусочно-замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая G. После .

Тогда справедлива формула Остроградского – Гаусса:

(2)

* Причем, поверхностный интеграл берется по внешней стороне поверхности.

 

Доказательство:

Скалярный вид формулы Остроградского – Гаусса:

(3)

Пусть в G z - цилиндроид, т.е.:

.

Тогда: -гладкие.

Докажем формулу:

(4)

= (по теореме 5 и формуле (9))= .

Пусть теперь G является также и - цилиндроидом и -цилиндроидом. Тогда аналогично можно показать, что:

(5)

(6)

Суммируя (4), (5) и (6) получим (3):

В векторной форме (3) имеет вид

Интеграл от дивергенции векторного поля , распространенный по некоторому объему равен потоку вектора через поверхность, ограничивающую данный объем.

Пусть теперь G – объединение областей указанного типа: .

 

П

 

- гладкая. тогда:

(*)

(**)

 

- две стороны одной поверхности (с нормалями ). Отсюда скалывая, получим:

формула (2).

Заметим, что теорема Остроградского – Гаусса справедлива для областей более общего вида.

СЛЕДСТВИЕ.

 

 

 

 

 

- область, инвариантен относительно системы координат, т.е. не зависит от выбора системы координат.

 

Доказательство:

. Пусть - открытая область, для которой верна теорема Остроградского – Гаусса. , - замкнутая поверхность. ограничивающая H. Тогда:

По теореме о среднем для кратных интегралов:

.

Отметим, что , т.к. .

(***)

Перейдем в (***) к при . В силу непрерывности , получим:

(7)

Т.к. поток и не зависят от системы координат не зависит от выбора системы координат. Из (7) физический смысл . Пусть - скорость жидкости. - средняя объемная плотность потока жидкости через поверхность , ограничивающая область H с объемом V.

- плотность источника в точке .

Из (7) , что при > 0 – сток, =0 – источник отсутствует.

Таким образом в какой-нибудь точке равен потоку векторного поля через бесконечно малую замкнутую поверхность, окружающую данную точку, отнесенному к единице объема.

Df.2 Пусть определено в G, называется соленоидальным в G, если .

Th.2 (НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ

СОЛЕНОИДАЛЬНОСТИ ПОЛЯ )

Пусть G – область, для которой возможно применение формулы Остроградского – Гаусса. - замкнутая кусочно-гладкая, , тогда соленоидально в G.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть соленоидально в G . Пусть - область допускающая применение формулы Остроградского – Гаусса. Тогда по (7):

в G.

Достаточность:

Пусть . Пусть - допускает применение формулы Остроградского – Гаусса, по ней:

соленоидальное.

 

ФОРМУЛА СТОКСА.

Df.1 Пусть , - область, векторное поле . Ротором (вихрем) векторного поля называется:

(1)

(1) операторная форма записи . Для того, чтобы получить обычную запись необходимо рассмотреть определитель. При этом нужно понимать:

и т.д. Тогда:

Очевидно, операция ставит в соответствие векторному полю векторное поле , определенное в G.

Th.1 (ТЕОРЕМА СТОКСА)

Пусть , G – область. - кусочно-гладкая; - кусочно-замкнутый контур, ограничивающий П. Тогда:

(3)

(3) – формула Стокса.

(Б/д).

 

 

 

При этом сторона поверхности и направление обхода контура согласованы. Как правило, обычно выбирается внешняя сторона П.

Th.2 (ТЕОРЕМА ГРИНА)

Пусть , - область, - кусочно-гладкая граница D, ориентированная против часовой стрелки; , тогда:

(4)

(4) – формула Грина.

(Б/д).

Покажем, что (4) – есть частный случай формулы Стокса. Причем это нельзя считать доказательством, т.к. при доказательстве (3) используется (4).

Итак: плоскость П зададим так: .

 

 

 

D=П =

Тогда , кроме того .

Из (3)

(по теореме о сведении поверхностного интеграла II-го рода к двойному)

Здесь , очевидно , т.е. С=1. Итак:

СЛЕДСТВИЕ ИЗ Th.1

Пусть , G -область, определен в G и инвариантен относительно системы координат.

Доказательство:

Г

D ● ● G

П

 

 

Рассмотрим направление, задаваемое . П – плоскость, перпендикулярная , проходящая через точку .

Пусть D – поверхность: .

Г – граница (кусочно-гладкая) поверхности D. Направление обхода D согласовано с . Применим формулу Стокса для поверхности D с нормалью и границей Г:

где = , - проекция на направление . По теореме о среднем для поверхностного интеграла I-го рода:

, что

(*)

Отметим, что - непрерывное векторное поле.

Перейдем в (*) к пределу при (, ). В силу непрерывности найдем:

Т.к. и не зависят от выбора системы координат, то не зависит от выбора системы координат инвариантен относительно выбора системы координат. (Достаточно взять три неколлинеарных вектора и считать, что , проекции на . Есть его координаты).

СЛЕДСТВИЕ 2.

Пусть (т.е. и они непрерывны в G) определяет соленоидальное поле в G, т.е. .

САМОСТОЯТЕЛЬНО.

Действительно .

: .