Предел монотонной последовательности.

Определение. Последовательность называется монотонно возрастающей, если для любого : .

Последовательность называется строго монотонно возрастающей, если для любого : .

Оба этих случая объединяют символом .

Последовательность называется монотонно убывающей, если для любого .

Последовательность называется строго монотонно убывающей, если для любого .

Теорема о существовании предела монотонной последовательности.

1. Если последовательность монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный .

Длины и площади в окружности и круге

Длиной окружности называется предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, при неограниченном увеличении числа сторон.

Длина окружности L вычисляется по формуле

, где – диаметр окружности, или по формуле

, где – радиус окружности.

Площадью круга называется предел последовательности площадей правильных многоугольников, вписанных в данную окружность, при неограниченном увеличении числа сторон.

Площадь круга радиуса вычисляется по формуле

.

Сектором называется часть круга, ограниченная двумя его радиусами.

Площадь сектора вычисляется по формуле

.

Часть круга, ограниченная хордой и стягиваемой ею дугой, называется сегментом.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна первому члену этой прогрести, деленному на единицу минус знаменатель этой прогрессии.

.

Примеры.

1) Сумма геометрической прогрессии равна

,

а сумма геометрической прогрессии ,... равна

.

Непрерывность функции. Пусть дана функция с областью определения и пусть – предельная точка множества .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если:

1) ;

2) , т.е. .

Сформулируем определение непрерывности в эквивалентной форме. С этой целью обозначим и .

Определение. Говорят, что функция непрерывна в точке , если выполняется равенство .

Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то этим же свойством обладают функции , а если , то и функция .

 

Задачи, приводящие к понятию производной

Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при решении целого ряда задач математики, физики, других наук, в особенности при изучении скорости разных процессов.

Скорость прямолинейного движения

Если в некоторый момент времени точка занимает положение М, то в момент времени ( – приращение времени) точка займет положение , где ( – приращение расстояния). Таким образом, перемещение точки за время будет .

Отношение – выражает среднюю скорость движения точки за время

Средняя скорость зависит от значения : чем меньше , тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени .

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим или

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М ₁.

Прямую ММ ₁, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка М ₁, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближается к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей ММ ₁, проходящей через точку М, когда вторая точка пересечения М ₁неограниченно приближается по кривой к точке М ₁.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой у=ƒ(х), имеющий в точке невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где — угол касательной с осью .

Для этого проведем через точку М и точку М₁ графика с абсциссой секущую (см. рис. 129). Обозначим через — угол между секущей ММ₁ и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

При в силу непрерывности функции приращение тоже стремится к нулю; поэтому точка М₁ неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ₁, поворачиваясь около точки М, переходите касательную. Угол , т. е. .

Следовательно,

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

Определение производной; ее механический и геометрический смысл.

Уравнение касательной и нормали к кривой

Пусть функция определена на некотором интервале . Проделаем следующие операции:

- аргументу дадим приращение ;

- найдем соответствующее приращение функции: ;

- составим отношение приращения функции к приращению аргумента:

- найдем предел этого отношения при :

Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают одним из символов .

Производной функции точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции в точке обозначается одним из символов: или .

В задаче про скорость прямолинейного движения было получено

Это равенство перепишем в виде , т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени есть производная от пути S по времени . В этом заключается механический смысл производной.

Обобщая, можно сказать, что если функция описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной

Это равенство перепишем в виде т. е. производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания М имеет координаты , то угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать уравнение касательной: .

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

 

Экономический смысл производной. Использование понятия производной в экономике

Производительность труда есть производная объема произведенной продукции по времени.

Рассмотрим еще одно понятие, иллюстрирующее экономический смысл производной.

Издержки производства будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Пусть – прирост продукции, тогда – приращение издержек производства и – среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.). Аналогичным образом могут быть определены предельная выручка, предельный доход, предельный продукт, предельная полезность и другие предельные величины.

Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Таким образом, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительного другого исследуемого фактора. Следует учесть, однако, что экономика не всегда позволяет использовать предельные величины в силу неделимости многих объектов экономических расчетов и прерывности (дискретности) экономических показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). Вместе с тем в ряде случаев можно отвлечься от дискретности показателей и эффективно использовать предельные величины.

 

Производная суммы, разности, произведения и частного функций

Нахождение производной функции непосредственно по определению часто связано с определенными трудностями. На практике функции дифференцируют с помощью ряда правил и формул.

Пусть функции и – две дифференцируемые в некотором интервале функции.

Теорема. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: Обозначим . По определению производной и основным теоремам о пределах получаем:

т.е.

Теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.

Теорема. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго:

Можно показать, что:

где

Теорема. Производная частного двух функций , если равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:

Производная сложной и обратной функций

Пусть и , тогда сложная функция с промежуточным аргументом и независимым аргументом х.

Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция имеет производную в точке , которая находится по формуле .

По условию

.

Отсюда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, имеем

,

где при .

Для нахождения производной сложной функции надо производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

.

Таблица производных

Выведенные правила дифференцирования, формулы производных основных элементарных функций запишем в виде таблицы.

На практике чаще всего приходится находить производные от сложных функций. Поэтому в приведенной ниже таблице формул дифференцирования аргумент «» заменен на промежуточный аргумент «u».

Правила дифференцирования

1.

2. , в частности,

3. , в частности

4. , если

5. , если и .

Таблица производных

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

Для вычисления производных надо знать лишь правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций, строго соблюдать эти правила при выполнении упражнений.

 

Определение. Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых имеет место: .

Определение. Функция называется убывающей на промежутке , если для любых имеет место: .

Теорема. Пусть имеет производную в каждой точке из . Тогда возрастает (убывает) на в том и только в том случае, когда для любого .

Определение. Точка называется точкой максимума f(x), если существует окрестность такая, что определена в этой окрестности и для любого .

Аналогично определяется точка минимума. Точка минимума или максимума называется точкой экстремума.

Определение. Точка называется критической точкой функции , если не определена в этой точке или .

Теорема.

1) если – точка экстремума функции , то она является крити­ческой точкой этой функции;

2) если – критическая точка функции , причем для , а для в некоторой окрестности , то – точка минимума;

3) если – критическая точка функции , причем для , а для в некоторой окрестности , то – точка максимума.

Определение. а) функция называется выпуклой вверх на промежутке , если для любого , касательная, проведенная к графику в точке , лежит над графиком функции ;

б) функция называется выпуклой вниз на промежутке , если для лю­бого касательная, проведенная к графику в точке , лежит под графиком функции .

Теорема. Пусть функция имеет вторую производную в каждой точке . Тогда:

a) выпуклая вниз на тогда и только тогда, когда для любого ;

6) выпуклая вверх на тогда и только тогда, когда для любого .

Cхема исследования функции .

1. Область определения .

2. Точки пересечения с осями координат.

3. Промежутки знакопостоянства функции.

4. Исследование по первой производной – промежутки убывания, возрастания, экстремумы. Для удобства строится таблица первой производной.

5. Исследование по второй производной – промежутки выпуклости вверх и вниз. Строится таблица второй производной.

6. Специальные свойства – четность, нечетность, периодичность.

Если какого-либо или нескольких свойств из перечисленных нет, то о них упоминать не следует;

7. Исследование завершается построением графика функции.