Свойства пределов функции в точке.

Предел функции в точке.

Пусть дана функция f(х) с областью определения Х.

Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что 0<|x-x₀|<δ выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 δ=δ(E) x: 0<|x-x₀|<δ |f(х)-A|<e (1)

, f(x)→A, x→x₀

Замечание. 1) Неравенство (1) не поверяется при х=х₀.

2) Принципиальны лишь малые e и d.

Пример. 1) f(x)= . Покажем, что

e>0 δ=δ(E) x: 0<|x|<δ | |<e

| |=|2х|½ ½£|2х|=2½х½<e Þd= , тогда

e>0 δ= x: 0<|x|<δ | |<2½х½<e

Геометрический смысл.

Неравенство |x-x₀|<δ равносильно неравенству х₀-δ<x<x₀+δ

Неравенство |f(х)-A|<E равносильно неравенству A-E<f(x)<A+E

Т.е. для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

Получаем топологическое определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа Е>0 найдется такое число δ>0 (зависящее от Е, δ=δ(Е)), что для всех х, попадающих в дельта-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

W(A) V(x₀): x V(x₀)\{x₀} f(х) W(A) (3)

 

		Предела функции в точке х0 не существует. Существуют односторонние пределы.

 

Принципиальное значение имеют малые окрестности.

Определение 3. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀ (в точке х₀), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ (x_n≠x₀ n), последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Теорема (определение по Гейне, в терминах последовательности). Определения 1 и 3 равносильны, т.е.

Для того, чтобы число А было пределом функции f при х→х₀ необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ (x_n≠x₀ n) при n→¥, последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Доказательство. Необходимость. Пусть .

Показать, что {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность f(x_n)→n, n→¥.

Т.к. , то e>0 δ=δ(E) x: 0<|x-x₀|<δ |f(х)-A|<e

х_n→x₀, то для d N: n>N |х_n-x₀|<d, тогда |f(х_n)-A|<e n>N, т.е. f(x_n)→А.

Достаточность. Дано {x_n},x_n→х₀,Þf(x_n)→n, n→¥. Показать, что .

Допустим противное, что число А не является пределом функции f(x) при х→х₀.

Т.е.

Возьмем d_n= , тогда

Получим, , то не стремиться к А при n→¥. Получили противоречие. Следовательно, ч.т.д.

Свойства пределов функции в точке.

Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел при х→х₀ , то этот предел определяется единственным образом.

Доказательство. Допустим противное, f(x) имеет 2 предела А≠В при х→х₀.

Выберем последовательность {x_n}→х₀ (x_n≠x₀ n), тогда f(x_n)→А и f(x_n)→В, следовательно А=В (т.к. предел последовательности единственный). Ч.т.д.

Теорема 2. Если функция f(x) имеет предел при х→х₀, то на некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ функция f(x) ограничена, т.е. существует число

С>0:

Доказательство. Пусть , тогда существует такая окрестность V(x₀) точки х₀ такой, что 1>½f(x)-A½³½f(x)½-½А½, т.е. ½f(x)½£1+çАç.

Возьмем С=1+çАç. ч.т.д.

Предел функции и арифметические операции.

Теорема. Пусть и , тогда

1) =А±В

2)

3)

4) (если φ(x)≠0, B≠0)

Доказательство. Докажем равенство 2.

Пусть x_n→x₀, n→¥, тогда f(x_n)→n, n→¥, φ(x_n)→n, n→¥.

По свойствам предела последовательностей

Это равенство доказано для любой переменной x_n→x₀, n→¥,(x_n≠x₀), поэтому

ч.т.д.

Остальные равенства доказываются аналогично.

Предел функции и неравенства.

Теорема 1. (б.д.) Пусть и и А>B, тогда в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} Þf(x)>φ(x).

Теорема 2. Пусть и и в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} выполняется одно из условий: 1) f(x)<φ(x); 2) f(x)£φ(x), тогда А£В.

(Т.е. в функциональном неравенстве можно переходить к пределу).

Доказательство 1. Допустим, А>B, тогда в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} Þf(x)>φ(x), что противоречит обоим условиям. Ч.т.д.

Доказательство 2. Через последовательности (сам-но).

(Возьмем последовательность x_n→x₀, n→¥, тогда f(x_n)®A, φ(x_n)®B и для достаточно больших n f(x_n)<φ(x_n) (или f(x_n)£φ(x_n)). По свойствам пределов последовательностей A£B)

Следствие. Пусть в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} выполняется одно из условий: 1) f(x)<С; 2) f(x)£С, тогда А£С. (случай, когда φ(x)=С).

Односторонние пределы.

Определение. Число А называется правым пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что х₀<х<х₀+δ выполняется неравенство |f(х)-A|<e. (при попадании точки х в правую полуокрестность точки х₀).

e>0 δ=δ(e) x: х₀<х<х₀+δ |f(х)-A|<e (1)

f(х₀+0)= = = А₊ или f(x₀+0)=A

Определение. Число А называется левым пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ=δ(e), что для всех хÎХ таких, что х₀-d<х<х₀ выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

(при попадании точки х в левую полуокрестность точки х₀).

e>0 δ=δ(e) x: х₀-δ<х<х₀ |f(х)-A|<e (2)

f(a-0)= =А_-. или f(x₀-0)=A

Утверждения. 1) Если у функции f(x) при при х→х₀ существует предел А в обычном смысле (т.е. двусторонний), то существуют оба односторонних предела f(х₀+0) и f(х₀+0) и они оба равны А.

2) Если у функции f(x) при при х→х₀ существуют оба односторонних предела f(х₀+0) и f(х₀+0) и они оба равны А, то у f(x) при при х→х₀ существует двусторонний предел, равный числу А.

Пример. (График).

Расширение понятия предела функции (Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечные пределы.) (пример на каждый случай)

Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) при х→+∞, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число Т (зависящее от e, Т=Т(e)), что для всех х таких, что x>Т выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 Т=Т(E) x: x>Т |f(х)-A|<E (1) =А

 

Определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→-∞, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число Т (зависящее от e, Т=Т(e)), что для всех х таких, что x<Т выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 Т=Т(E) x: x<Т |f(х)-A|<E (2) =А

Определение 3. Пределом функции f(x) при х→х₀ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число d=d(С), что для всех х таких, что 0<|x-x₀|<δ выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 d=d(С ) x: 0<|x-x₀|<δ Þf(х)>C (3) =+¥

Определение 4. Пределом функции f(x) при х→х₀ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число d=d(С), что для всех х таких, что 0<|x-x₀|<δ выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 d=d(С ) x: 0<|x-x₀|<δ Þf(х)<C (4) =-¥

Пример. f(x)= - график.

Определение 5. Пределом функции f(x) при х→+¥ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x>T выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 T=T(С ) x: x>T Þf(х)>C (5) =+¥

Определение 6. Пределом функции f(x) при х→+¥ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x>T выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 T=T(С ) x: x>T Þf(х)<C (6) =-¥

Определение 7. Пределом функции f(x) при х→-¥ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x<T выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 T=T(С ) x: x<T Þf(х)>C (7) =+¥

Определение 8. Пределом функции f(x) при х→-¥ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x<T выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 T=T(С ) x: x<T Þf(х)<C (8) =-¥

Свойства пределов.

1. +¥+(+¥)=+¥

-¥+(-¥)=-¥

2. +¥×+¥=+¥

-¥×(-¥)=+¥

±¥×А=

±¥×0=0

3. =0 =0 (А≠0)

[ ], [ ], [∞-∞], [1^∞] - неопределенности

Предел композиции функции.

Теорема. Пусть даны функции f и φ: , х₀ – предельная точка множества Х, u₀– предельная точка множества U. Если выполнено условие:

1) =u₀ (φ(х)≠х₀)

2) =А,

То =А (х₀ и u₀ могут совпадать с ±¥)

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {x_n}, x_nÎX, x_n≠x₀.

x_n→x₀,n→¥. Покажем, что f(φ(x_n))→A, n→¥.

Т.к. x_n→x₀,n→¥, φ(х)→ u₀, х→х₀, то φ(х_n)→u₀, n→¥.

Т.к. f(u)→A, u→u₀, то возьмем последовательность u_n=φ(х_n)→u₀, n→¥, т.е.

f(u_n)=f(φ(x_n))→A, n→¥. А это и означает, что =А ч.т.д.

Свойства б/б величин.

1. Если одна из трех функций f(x), -f(x), çf(x)ç является б.б. при х→х₀, то и две другие функции также являются б.б. при х→х₀.

2. Произведение б/б функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б/б величина.

3. Сумма б/б величины и ограниченной функции есть б/б величина.

4. Частное от деления б/б функции на функцию, имеющую предел, есть б/б функция.

Например, функция f(x)= - является частным от деления б/б функции tg x при х→П/2 на функцию 2х+5 имеющую предел П+5 при х→П/2.

Доказательство св-ва 2. (остальные – аналогично).

Пусть f(x) – б.б. функция при х→х₀, т.е. =∞ и =с (с≠0).

Докажем, что f(x)×j(х) - б.б. функция при х→х₀.

Рассмотрим последовательность х_n→x₀, n→¥ (предполагается, что x_n берутся из окрестности x₀ и x_n≠x₀)

По условию =с (с≠0). Но тогда и =с (с≠0).

По условию f(x) – б.б. функция при х→х₀, но тогда и f(x_n) – б.б. функция при n→¥. Следовательно, f(x_n)×j(х_n) - б.б. последовательность, как произведение б.б. последовательности и последовательности, имеющей конечный, отличный от 0 предел.

Т.к. последовательность х_n – любая сходящаяся к х₀, то заключаем, что

Это означает, что функция f(x)×j(х) - б.б. функция при х→х₀. ч.т.д.

Алгебраические методы.

а) Разложение на множители. = = 10. ([ ])

б) Устранение иррациональности. ( [ ])

в) Выделение главного члена. ( [ ])

Пределы монотонных функций.

Теорема 1. (б.д.?)Пусть функция f(x) монотонно возрастает (строго возрастает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х₀ (х₀-d;х₀) существуют точки множества Х, отличные от х₀. (Число х₀ может быть как конечным, так и равным +¥, в этом случае левая полуокрестность это хÎХ: x<x₀).

1) Если при этом функция f(x) ограничена сверху, т.е. существует число С такое, что f(x)£С хÎХ, то при х→х₀-0 функция f(x) имеет конечный предел.

2) Если f(x) сверху не ограничена, то .

Доказательство.

1) Т.к. функция f(x) ограничена сверху, тогда существует точная верхняя граница множества {f(x)}, xÎX. Пусть m= . Тогда хÎХ f(x)£m. (1)

Возьмем сколь угодно малое e>0 и рассмотрим число m-e.

Т.к. m-e<m, то по свойству супремума на множестве {f(x)}, xÎX, обязательно найдется элемент >m-e.

Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хÎХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x)³ и, следовательно, f(x)>m-e (2).

Т.о. хÎХ: х> будут выполняться оба неравенства (1) и (2), т.е.

m-e<f(x)£m, значит, m-e<f(x)£m+e Ûçf(x)-mç<e.

а) Положим d=а- или =а-d, где а – конечное число. В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству а-d<x<a, будет çf(x)-mç<e, а это означает m=

б) Положим D= , если а=+¥ (можно считать, что =D>0). В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству x>D, будет çf(x)-mç<e, а это означает m=

2) (б.д.?) Допустим, что функция f(x) не ограничена сверху, т.е. не ограничено сверху множество {f(x)}, xÎX. Это значит, что какое бы большое число М>0 ни взять на множестве {f(x)}, xÎX, обязательно найдется хотя бы один элемент такой, что будет >М.

Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хÎХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x)³ и, следовательно, f(x)>М.

а) Положим d=а- или =а-d, где а – конечное число. В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству а-d<x<a, будет f(x)>М, а это означает =+¥.

б) Положим D= , если а=+¥ (можно считать, что =D>0). В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству x>D, будет f(x)>М, а это означает =+¥. Ч.т.д.

Теорема 2. Пусть функция f(x) монотонно убывает (строго убывает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х₀ (х₀-d;х₀) существуют точки множества Х, отличные от х₀. (Число х₀ может быть как конечным, так и равным +¥, в этом случае левая полуокрестность это хÎХ: x<x₀).

1) Если при этом функция f(x) ограничена снизу, т.е. существует число М, такое, что f(x)³М хÎХ, то при х→х₀-0 функция f(x) имеет конечный предел.

2) Если f(x) снизу не ограничена, то .

Предел функции в точке.

Пусть дана функция f(х) с областью определения Х.

Определение 1. (по Коши). Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что 0<|x-x₀|<δ выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 δ=δ(E) x: 0<|x-x₀|<δ |f(х)-A|<e (1)

, f(x)→A, x→x₀

Замечание. 1) Неравенство (1) не поверяется при х=х₀.

2) Принципиальны лишь малые e и d.

Пример. 1) f(x)= . Покажем, что

e>0 δ=δ(E) x: 0<|x|<δ | |<e

| |=|2х|½ ½£|2х|=2½х½<e Þd= , тогда

e>0 δ= x: 0<|x|<δ | |<2½х½<e

Геометрический смысл.

Неравенство |x-x₀|<δ равносильно неравенству х₀-δ<x<x₀+δ

Неравенство |f(х)-A|<E равносильно неравенству A-E<f(x)<A+E

Т.е. для всех значений х, попадающих в дельта-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

Получаем топологическое определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа Е>0 найдется такое число δ>0 (зависящее от Е, δ=δ(Е)), что для всех х, попадающих в дельта-окрестность точки х₀, соответствующие значения функции попадают в Е-окрестность величины А.

W(A) V(x₀): x V(x₀)\{x₀} f(х) W(A) (3)

 

		Предела функции в точке х0 не существует. Существуют односторонние пределы.

 

Принципиальное значение имеют малые окрестности.

Определение 3. (по Гейне). Число А называется пределом функции f(x) при х→х₀ (в точке х₀), если для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ (x_n≠x₀ n), последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Теорема (определение по Гейне, в терминах последовательности). Определения 1 и 3 равносильны, т.е.

Для того, чтобы число А было пределом функции f при х→х₀ необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {x_n}, сходящейся к х₀ (x_n≠x₀ n) при n→¥, последовательность {f(x_n)} соответствующих значений функции сходится к А.

Доказательство. Необходимость. Пусть .

Показать, что {x_n}, сходящейся к х₀, последовательность f(x_n)→n, n→¥.

Т.к. , то e>0 δ=δ(E) x: 0<|x-x₀|<δ |f(х)-A|<e

х_n→x₀, то для d N: n>N |х_n-x₀|<d, тогда |f(х_n)-A|<e n>N, т.е. f(x_n)→А.

Достаточность. Дано {x_n},x_n→х₀,Þf(x_n)→n, n→¥. Показать, что .

Допустим противное, что число А не является пределом функции f(x) при х→х₀.

Т.е.

Возьмем d_n= , тогда

Получим, , то не стремиться к А при n→¥. Получили противоречие. Следовательно, ч.т.д.

Свойства пределов функции в точке.

Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел при х→х₀ , то этот предел определяется единственным образом.

Доказательство. Допустим противное, f(x) имеет 2 предела А≠В при х→х₀.

Выберем последовательность {x_n}→х₀ (x_n≠x₀ n), тогда f(x_n)→А и f(x_n)→В, следовательно А=В (т.к. предел последовательности единственный). Ч.т.д.

Теорема 2. Если функция f(x) имеет предел при х→х₀, то на некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ функция f(x) ограничена, т.е. существует число

С>0:

Доказательство. Пусть , тогда существует такая окрестность V(x₀) точки х₀ такой, что 1>½f(x)-A½³½f(x)½-½А½, т.е. ½f(x)½£1+çАç.

Возьмем С=1+çАç. ч.т.д.