Бесконечно малые функции (величины) и их свойства.

Определение. Функция α (х) называется бесконечно малой (б/м) функцией при х → х₀, или при х → ∞, если: α (х)=0. х₀ может быть как число, так и -¥,+¥,¥.

Т.е. ε > 0 δ=δ(ε)> 0 х: 0<|х–х₀|<δ |α(х)|<ε

Аналогично можно сформулировать определение бесконечно малой при х → ∞

ε>0 S=S(ε)>0 х: |х| > S |α(x)|<ε

Например, y=cos x - б/м при х→П/2, у= б/м при х→∞.

Связь бесконечно малых величин с пределами функций.

Теорема. Функция f(x) имеет при х→х₀ (х → ∞) предел, равный А, тогда и только тогда, когда ее можно представить как сумму числа A и бесконечно малой функции α(х) при х → х₀ (х → ∞).

=А f(x)-A=α(x)

Доказательство.Необходимость. Докажем теорему для любого случая х→х₀. По условию f(x) = A. Это означает, что для любого ε > 0 существует такое число δ>0, что для всех х≠х₀ и удовлетворяющих условию |х–х₀|<δ будет верно неравенство |f(x)–A|<ε, или, обозначив α(х)=f(x)–A, справедливо неравенство |α(х)|<ε. Это и означает, что α(х) есть бесконечно малая при х→ х₀. ■

Достаточность. □ По условию α(х)=f(x)–A есть бесконечно малая при х→х₀, то для любого числа ε>0 существует такое число δ>0, что при всех х≠х₀ и удовлетворяющих условию |х–х₀|<δ верно неравенство |α(х)|=|f(x)–A|<ε.

Это и означает, что f (x)= A. ■

Доказательство через последовательности. Необходимость. Возьмем последовательность х₁,x₂,…,x_n,… значений х любую, но такую, что x_nÎ и x_n®x₀ при n®¥.

По условию = А. Тогда f(x_n)®A при (f(x_n)-A)=α(х_n)®0 при n®¥.

Т.к. последовательность х₁,x₂,…,x_n,…-любая, сходящаяся к х₀, то = 0Û

Û = 0. А последнее и означает, что разность f(x)–A – б.м. при х®х₀.

Достаточность. Возьмем последовательность х₁,x₂,…,x_n,… значений х любую, но такую, что x_nÎ и x_n®x₀ при n®¥.

По условию a(х)=f(x)–A – б.м. при х®х₀, т.е. = =0. Но тогда

α(х_n)®0 при n®¥Û(f(x_n)-A)®0 при n®¥.

Т.к. последовательность х₁,x₂,…,x_n,…-любая, сходящаяся к х₀, то f (x)= A.

Свойства бесконечно малых величин:

1. Если одна из трех функций f(x), -f(x), çf(x)ç является б.м. при х→х₀, то и две другие функции также являются б.м. при х→х₀.

2. Алгебраическая сумма конечного числа б/м величин есть величина б/м.

3. Произведение б/м величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую б/м) есть величина б/м.

4. Частное от деления б/м величины на функцию, предел которой отличен от нуля, есть величина б/м.

Доказательство через последовательности или через определение предела функции при А=0.

Пример. Доказать, что функция f(x)=(х-1)sin является бесконечно малой при х→1.

Т.к. =0, т.е. (х-1) – б.м. при х→1, а функция sin ограничена (т.к. ), то функция f(x) является произведением б.м. функции на ограниченную. Следовательно, функция f(x)=(х-1)sin является бесконечно малой при х→1.

Бесконечно большие функции (величины).

Определение. Функция β(х) называется бесконечно большой величиной (б/б) при х→х₀, если либо =∞, либо =+∞, либо =-∞.

При этом в случае, когда =+∞, говорят, что β(х) – положительная бесконечно большая, а в случае, когда =-∞, говорят, что β(х) – отрицательная бесконечно большая функция при х→х₀.

Например, функция у=tg x при х→П/2 – б/б;

Функция у=х²+5 при х→∞ - б/б; у= при х→0 – б/б. (На г рафике показать определение)

Замечание. х₀ может означать и конечное число, и один из символов ¥, +¥, -¥.

Любая б/б функция является неограниченной. Обратное неверно. Так, например, функция у=хcos х – неограниченная функция, но б/б не является, т.к. при х→∞ функция колеблется, переходя от отрицательных значений к положительным и наоборот, принимая значения 0.

Свойства б/б величин.

1. Если одна из трех функций f(x), -f(x), çf(x)ç является б.б. при х→х₀, то и две другие функции также являются б.б. при х→х₀.

2. Произведение б/б функции на функцию, предел которой отличен от нуля, есть б/б величина.

3. Сумма б/б величины и ограниченной функции есть б/б величина.

4. Частное от деления б/б функции на функцию, имеющую предел, есть б/б функция.

Например, функция f(x)= - является частным от деления б/б функции tg x при х→П/2 на функцию 2х+5 имеющую предел П+5 при х→П/2.

Доказательство св-ва 2. (остальные – аналогично).

Пусть f(x) – б.б. функция при х→х₀, т.е. =∞ и =с (с≠0).

Докажем, что f(x)×j(х) - б.б. функция при х→х₀.

Рассмотрим последовательность х_n→x₀, n→¥ (предполагается, что x_n берутся из окрестности x₀ и x_n≠x₀)

По условию =с (с≠0). Но тогда и =с (с≠0).

По условию f(x) – б.б. функция при х→х₀, но тогда и f(x_n) – б.б. функция при n→¥. Следовательно, f(x_n)×j(х_n) - б.б. последовательность, как произведение б.б. последовательности и последовательности, имеющей конечный, отличный от 0 предел.

Т.к. последовательность х_n – любая сходящаяся к х₀, то заключаем, что

Это означает, что функция f(x)×j(х) - б.б. функция при х→х₀. ч.т.д.