Предел функции и арифметические операции.

Теорема. Пусть и , тогда

1) =А±В

2)

3)

4) (если φ(x)≠0, B≠0)

Доказательство. Докажем равенство 2.

Пусть x_n→x₀, n→¥, тогда f(x_n)→n, n→¥, φ(x_n)→n, n→¥.

По свойствам предела последовательностей

Это равенство доказано для любой переменной x_n→x₀, n→¥,(x_n≠x₀), поэтому

ч.т.д.

Остальные равенства доказываются аналогично.

Предел функции и неравенства.

Теорема 1. (б.д.) Пусть и и А>B, тогда в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} Þf(x)>φ(x).

Теорема 2. Пусть и и в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} выполняется одно из условий: 1) f(x)<φ(x); 2) f(x)£φ(x), тогда А£В.

(Т.е. в функциональном неравенстве можно переходить к пределу).

Доказательство 1. Допустим, А>B, тогда в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} Þf(x)>φ(x), что противоречит обоим условиям. Ч.т.д.

Доказательство 2. Через последовательности (сам-но).

(Возьмем последовательность x_n→x₀, n→¥, тогда f(x_n)®A, φ(x_n)®B и для достаточно больших n f(x_n)<φ(x_n) (или f(x_n)£φ(x_n)). По свойствам пределов последовательностей A£B)

Следствие. Пусть в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} выполняется одно из условий: 1) f(x)<С; 2) f(x)£С, тогда А£С. (случай, когда φ(x)=С).

Теорема 3. (О пределе промежуточных функций).

Даны функции f₁(x), f₂(x) и φ(x) и в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀ xÎV(x₀)-{x₀} f₁(x)£φ(х)£ f₂(x). Тогда, если f₁(x)®А при х→х₀ и f₂(x)®А при х→х₀, то и φ(x)®А при х→х₀.

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность x_n→x₀, n→¥ (x_n≠x₀), тогда f₁(x_n)®A, f₂ (x_n)®А при n→¥. Тогда для достаточно больших N при n>N выполняется неравенство: f₁(x_n)£φ(х_n)£ f₂(x_n).

По свойствам пределов последовательностей φ(x_n)®А при n→¥, следовательно и φ(x)®А при х→х₀ ч.т.д.

(Доказательство 2. Т.к. g(x)= h(x)=A, то

E>0 δ=δ(E) x: 0<|x-x₀|<δ |g(х)-A|<E и |h(х)-A|<E или

A-E<g(x)<A+E и A-E<h(x)<A+E (1)

Т.к. по условию g(x)≤f(x)≤h(x), то из неравенства (1) следует, что

А-Е≤f(x)≤А+Е, т.е. |f(х)-A|<E, т.е. f(x)=A. Ч.т.д.)

Односторонние пределы.

Определение. Число А называется правым пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что х₀<х<х₀+δ выполняется неравенство |f(х)-A|<e. (при попадании точки х в правую полуокрестность точки х₀).

e>0 δ=δ(e) x: х₀<х<х₀+δ |f(х)-A|<e (1)

f(х₀+0)= = = А₊ или f(x₀+0)=A

Определение. Число А называется левым пределом функции f(x) при х→х₀, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ=δ(e), что для всех хÎХ таких, что х₀-d<х<х₀ выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

(при попадании точки х в левую полуокрестность точки х₀).

e>0 δ=δ(e) x: х₀-δ<х<х₀ |f(х)-A|<e (2)

f(a-0)= =А_-. или f(x₀-0)=A

Утверждения. 1) Если у функции f(x) при при х→х₀ существует предел А в обычном смысле (т.е. двусторонний), то существуют оба односторонних предела f(х₀+0) и f(х₀+0) и они оба равны А.

2) Если у функции f(x) при при х→х₀ существуют оба односторонних предела f(х₀+0) и f(х₀+0) и они оба равны А, то у f(x) при при х→х₀ существует двусторонний предел, равный числу А.

Пример. (График).

Расширение понятия предела функции (Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечные пределы.) (пример на каждый случай)

Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) при х→+∞, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число Т (зависящее от e, Т=Т(e)), что для всех х таких, что x>Т выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 Т=Т(E) x: x>Т |f(х)-A|<E (1) =А

 

Определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→-∞, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число Т (зависящее от e, Т=Т(e)), что для всех х таких, что x<Т выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 Т=Т(E) x: x<Т |f(х)-A|<E (2) =А

Определение 3. Пределом функции f(x) при х→х₀ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число d=d(С), что для всех х таких, что 0<|x-x₀|<δ выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 d=d(С ) x: 0<|x-x₀|<δ Þf(х)>C (3) =+¥

Определение 4. Пределом функции f(x) при х→х₀ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число d=d(С), что для всех х таких, что 0<|x-x₀|<δ выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 d=d(С ) x: 0<|x-x₀|<δ Þf(х)<C (4) =-¥

Пример. f(x)= - график.

Определение 5. Пределом функции f(x) при х→+¥ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x>T выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 T=T(С ) x: x>T Þf(х)>C (5) =+¥

Определение 6. Пределом функции f(x) при х→+¥ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x>T выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 T=T(С ) x: x>T Þf(х)<C (6) =-¥

Определение 7. Пределом функции f(x) при х→-¥ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x<T выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 T=T(С ) x: x<T Þf(х)>C (7) =+¥

Определение 8. Пределом функции f(x) при х→-¥ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x<T выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 T=T(С ) x: x<T Þf(х)<C (8) =-¥

Свойства пределов.

1. +¥+(+¥)=+¥

-¥+(-¥)=-¥

2. +¥×+¥=+¥

-¥×(-¥)=+¥

±¥×А=

±¥×0=0

3. =0 =0 (А≠0)

[ ], [ ], [∞-∞], [1^∞] - неопределенности

Предел композиции функции.

Теорема. Пусть даны функции f и φ: , х₀ – предельная точка множества Х, u₀– предельная точка множества U. Если выполнено условие:

1) =u₀ (φ(х)≠х₀)

2) =А,

То =А (х₀ и u₀ могут совпадать с ±¥)

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {x_n}, x_nÎX, x_n≠x₀.

x_n→x₀,n→¥. Покажем, что f(φ(x_n))→A, n→¥.

Т.к. x_n→x₀,n→¥, φ(х)→ u₀, х→х₀, то φ(х_n)→u₀, n→¥.

Т.к. f(u)→A, u→u₀, то возьмем последовательность u_n=φ(х_n)→u₀, n→¥, т.е.

f(u_n)=f(φ(x_n))→A, n→¥. А это и означает, что =А ч.т.д.