Предел функции и арифметические операции.



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Предел функции и арифметические операции.



Теорема.Пусть и , тогда

1) =А±В

2)

3)

4) (если φ(x)≠0, B≠0)

Доказательство. Докажем равенство 2.

Пусть xn→x0, n→¥, тогда f(xn)→n, n→¥, φ(xn)→n, n→¥.

По свойствам предела последовательностей

Это равенство доказано для любой переменной xn→x0, n→¥,(xn≠x0), поэтому

ч.т.д.

Остальные равенства доказываются аналогично.

Предел функции и неравенства.

Теорема 1. (б.д.)Пусть и и А>B, тогда в некоторой окрестности V(x0) точки х0 xÎV(x0)-{x0} Þf(x)>φ(x).

Теорема 2. Пусть и и в некоторой окрестности V(x0) точки х0 xÎV(x0)-{x0} выполняется одно из условий: 1) f(x)<φ(x); 2) f(x)£φ(x), тогда А£В.

(Т.е. в функциональном неравенстве можно переходить к пределу).

Доказательство 1. Допустим, А>B, тогда в некоторой окрестности V(x0) точки х0 xÎV(x0)-{x0} Þf(x)>φ(x), что противоречит обоим условиям. Ч.т.д.

Доказательство 2. Через последовательности (сам-но).

(Возьмем последовательность xn→x0, n→¥, тогда f(xn)®A, φ(xn)®B и для достаточно больших n f(xn)<φ(xn) (или f(xn)£φ(xn)). По свойствам пределов последовательностей A£B)

Следствие. Пусть в некоторой окрестности V(x0) точки х0 xÎV(x0)-{x0} выполняется одно из условий: 1) f(x)<С; 2) f(x)£С, тогда А£С. (случай, когда φ(x)=С).

Теорема 3. (О пределе промежуточных функций).

Даны функции f1(x), f2(x) и φ(x) и в некоторой окрестности V(x0) точки х0 xÎV(x0)-{x0} f1(x)£φ(х)£ f2(x). Тогда, если f1(x)®А при х→х0 и f2(x)®А при х→х0, то и φ(x)®А при х→х0.

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность xn→x0, n→¥ (xn≠x0), тогда f1(xn)®A, f2 (xn)®А при n→¥. Тогда для достаточно больших N при n>N выполняется неравенство: f1(xn)£φ(хn)£ f2(xn).

По свойствам пределов последовательностей φ(xn)®А при n→¥, следовательно и φ(x)®А при х→х0 ч.т.д.

(Доказательство 2. Т.к. g(x)= h(x)=A, то

E>0 δ=δ(E) x: 0<|x-x0|<δ |g(х)-A|<E и |h(х)-A|<E или

A-E<g(x)<A+E и A-E<h(x)<A+E (1)

Т.к. по условию g(x)≤f(x)≤h(x), то из неравенства (1) следует, что

А-Е≤f(x)≤А+Е, т.е. |f(х)-A|<E, т.е. f(x)=A. Ч.т.д.)

Односторонние пределы.

Определение.Число А называется правым пределом функции f(x) при х→х0, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ>0 (зависящее от e, δ=δ(e)), что для всех хÎХ таких, что х0<х<х0+δ выполняется неравенство |f(х)-A|<e. (при попадании точки х в правую полуокрестность точки х0).

e>0 δ=δ(e) x: х0<х<х0 |f(х)-A|<e (1)

f(х0+0)= = =А+ или f(x0+0)=A

Определение.Число А называется левым пределом функции f(x) при х→х0, если для любого сколь угодно малого числа e>0 можно указать такое число δ=δ(e), что для всех хÎХ таких, что х0-d<х<х0 выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

(при попадании точки х в левую полуокрестность точки х0).

e>0 δ=δ(e) x: х0-δ<х<х0 |f(х)-A|<e (2)

f(a-0)= -. или f(x0-0)=A

Утверждения. 1) Если у функции f(x) при при х→х0 существует предел А в обычном смысле (т.е. двусторонний), то существуют оба односторонних предела f(х0+0) и f(х0+0) и они оба равны А.

2) Если у функции f(x) при при х→х0 существуют оба односторонних предела f(х0+0) и f(х0+0) и они оба равны А, то у f(x) при при х→х0 существует двусторонний предел, равный числу А.

Пример. (График).

Расширение понятия предела функции (Понятие предела функции на бесконечности. Бесконечные пределы.)(пример на каждый случай)

Определение 1. Число А называется пределом функции f(x) при х→+∞, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число Т (зависящее от e, Т=Т(e)), что для всех х таких, что x>Т выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 Т=Т(E) x: x>Т |f(х)-A|<E (1)

 
 

 


Определение 2. Число А называется пределом функции f(x) при х→-∞, если для любого сколь угодно малого числа e>0 найдется такое число Т (зависящее от e, Т=Т(e)), что для всех х таких, что x<Т выполняется неравенство |f(х)-A|<e.

Т.е. e>0 Т=Т(E) x: x<Т |f(х)-A|<E (2)

Определение 3. Пределом функции f(x) при х→х0 является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число d=d(С), что для всех х таких, что 0<|x-x0|<δ выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 d=d(С) x:0<|x-x0|<δ Þf(х)>C(3) =+¥

Определение 4. Пределом функции f(x) при х→х0 является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число d=d(С), что для всех х таких, что 0<|x-x0|<δ выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 d=d(С) x:0<|x-x0|<δ Þf(х)<C(4) =-¥

Пример. f(x)= - график.

Определение 5. Пределом функции f(x) при х→+¥ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x>T выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 T=T(С) x: x>T Þf(х)>C(5) =+¥

Определение 6. Пределом функции f(x) при х→+¥ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x>T выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 T=T(С) x: x>T Þf(х)<C(6) =-¥

Определение 7. Пределом функции f(x) при х→-¥ является +¥, если для любого сколь угодно большого числа С>0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x<T выполняется неравенство f(х)>C.

Т.е. C>0 T=T(С) x: x<T Þf(х)>C(7) =+¥

Определение 8. Пределом функции f(x) при х→-¥ является -¥, если для любого числа С<0 найдется такое число T=T(С), что для всех х таких, что x<T выполняется неравенство f(х)<C.

Т.е. C<0 T=T(С) x: x<T Þf(х)<C(8) =-¥

Свойства пределов.

1. +¥+(+¥)=+¥

-¥+(-¥)=-¥

2. +¥×+¥=+¥

-¥×(-¥)=+¥

±¥×А=

±¥×0=0

3. =0 =0 (А≠0)

[ ], [ ], [∞-∞], [1] - неопределенности

Предел композиции функции.

Теорема.Пусть даны функции f и φ: , х0 – предельная точка множества Х, u0– предельная точка множества U. Если выполнено условие:

1) =u0 (φ(х)≠х0)

2) =А,

То =А (х0 и u0 могут совпадать с ±¥)

Доказательство. Возьмем произвольную последовательность {xn}, xnÎX, xn≠x0.

xn→x0,n→¥. Покажем, что f(φ(xn))→A, n→¥.

Т.к. xn→x0,n→¥, φ(х)→ u0, х→х0, то φ(хn)→u0, n→¥.

Т.к. f(u)→A, u→u0, то возьмем последовательность un=φ(хn)→u0, n→¥, т.е.

f(un)=f(φ(xn))→A, n→¥. А это и означает, что =А ч.т.д.




Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.227.235.216 (0.011 с.)