Обращение непрерывной монотонной функции.

Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у однозначно разрешимо относительно уf(Х).

Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция однозначно сопоставляющая каждому уо такое х₀ что f(х₀)=у₀ - называется обратной к функции f.

Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,

определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго убывающая) и непрерывная на Y.

Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что значения непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для каждого значения у₀ из этого промежутка найдется хоть одно такое значение х₀Х, что f(х₀)=у₀. Из строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно: если х₁> или <х₀, то соответственно и f(х₁)> или <f(х₀). Сопоставля именно это значение х₀ произвольно взятому у₀ из Y мы получим однозначную функцию: х=f’(у) - обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f => у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы

было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.

Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у₀) при уу₀. Пусть f`(у<sub>0</sub>)=х<sub>0</sub>. Возьмем произвольно Е>0. Имеем уУ: |f`(у)-f`(у<sub>0</sub>)|<Е <=> х<sub>0</sub>-Е<f`(у)<х₀+Е <=> f(х₀-Е)<у<f(х₀+Е) <=> f(х₀-Е)-у₀<у-у₀<f(х₀+Е)-у₀ <=> -’<у-у₀<”, где ’=у₀-f(х₀-Е)>у₀-f(х₀)=0, ”=f(х₀+Е)-у₀>f(х₀)-у₀=0,

полагая =min{’,”} имеем: как только |у-у₀|< => -’<у-у₀<” <=> |f`(у)-f`(у₀)|<Е

Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:

Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция х^M/N - где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций х^M и х^1/M => ф-ция х^M/N - непрерывна при х>0. Если х=0, то х^M/N = 1, а следовательно непрерывна.

Рассмотрим ф-цию х^N, nÎN: она непрерывна так как равна произведению непрерывных функций у=х.

n=0: х^N тождественно равно константе => х^N - непрерывна х^-N=1/х^N, учитывая что:

1) 1/х - непрерывная функция при х¹0

2) х^N (nÎN) - тоже непрерывная функция

3) х^-N=1/х^N - суперпозиция ф-ий 1/х и х^N при х¹0

По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х^-N - непрерывная при х¹0, т.о. получили что х^MmÎZ - непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0 ф-ция х^N nÎN строго монотонно возрастает и ф-ция х^Nнепрерывна=>$ функция обратная данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0), очевидно этой функцией будет функция х^1/N

Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные тригонометрические функции - непрерывны

 

 

Определение показательной функции вещественной переменной. Непрерывность показательной функции.

Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел: Функция вида а^X, а>0, а¹1 xÎR.

 

 

Докажем что .
Доказательство. Так как для любого аргумента можно найти два последовательных натуральных числа, что будут выполнены условия n < x < n + 1. По свойству неравенств имеем

.

При а > 1 показательная функция является монотонно возрастающей, поэтому

.

Так как , то по теореме о пределе промежуточной функции справедливо соотношение

Далее имеем, , что и требовалось доказать.

Св-ва показательной функции

Свойства: x,yÎR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_N®x, y_N®y => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_N®x, y_K®y => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n®¥) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k®¥) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ÎR; x_N®x x’_N®x’ x_N,x’_NÎQ => x_N<x’_N => a^Xn < a^X’n => (n®¥) a^X£a^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ ³ a^Q>1 => a^X-X’¹1 => aX<a^X’ - строго монотонна

5) при x n®0 a^X ®1

Т.к. Lim a^1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n₀: "n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x®0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X-a^Xo= a^Xo(a^X-Xo - 1) при х®x₀ x-x₀ n®0 => a^X-x₀ n®1 => при х®x₀ lim(a^X - a^Xo)=

Lim a^Xo*Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна

18.Последовательность (1+1/n)ⁿ и ее предел.

x_N= ; y_N= ; z_N=y_N +

x_N монотонно возрастает: докажем:

x_N=(1+1/n)ⁿ=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n² +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y_N => y_N<z_N<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)ⁿ³1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)ⁿ³1+n/n=2

Получили: 2 £ x_N<3 => x_N - ограничена, учитывая что x_N - монотонно возрастает => x_N - сходится и ее пределом является число е.