Критерий Коши существования предела функции

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

 

Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при хх₀ если Е>0 >0: 0<|х-х₀|< & хDf => |f(x)-А|<Е

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

Е>0 >0: 0<|х-х₀|< & хDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

х_Nх₀, х_Nх₀, т.к. х_Nх₀ =>  n₀: n>n₀ 0<|x_N-x₀|<Е (Е=) => 0<|x_N-x₀|< => по определению Коши |f(x_N)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К):  Е>0:  >0 x: 0<|x-x₀|< => |f(x)-A|E

Отрицание (Г):  х_Nх₀, х_Nх₀: |f(x_N)-A|E

 х_Nх₀, х_Nх₀ =>  n₀: n>n₀ 0<|x_N-x₀|<Е (Е=) => по отрицанию определения Коши |f(x_N)-А|Е

Для ф-ции хf(х) определенной на интервале (а,+), определяется предел при х_N следующим образом: limf(х) при х_N = Limf(1/t) t+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при х_N = Lim f(1/t) t0 и х_N = lim f(1/t) t0

Критерий Коши существования предела функции

Функции многих переменных

Критерий Коши существования конечного предела.

Для существования конечного предела необходимо и достаточно, чтобы

"e>0$d>0"x¢,x¢¢ÎDÇ :|f(x¢¢)-f(x¢)|<e.

Доказательство проводится так же, как и для функции одного переменного.

Необходимость. e>0,e/2®$ "xÎ ÇD:|f(x)-A|<e/2. Для x¢,x¢¢Î ÇD получим требуемое неравенство |f(x¢)-f(x¢¢)|<|f(x¢)-A|+|f(x¢¢)-A|e/2+e/2=e.

Достаточность. Пусть {xk} последовательность типа Гейне. Тогда {f(xk)}

будет удовлетворять условию Коши для последовательностей, поэтому существует некоторый предел . Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне {yk} как в Гейне предел будет также равен B. Составим последовательность

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне и, как уже доказано, предел должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, = .

Предел сложной функции. Непрерывность сложной функции.

Определение

Функция имеет предел в точке , предельной для области определения функции , если для каждой окрестности предела существует проколотая окрестность точки , образ которой при отображении является подмножеством заданной окрестности точки .

Пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х ₀, а функция f (y) непрерывна в точке у ₀ = φ (x ₀), тогда сложная функция f (φ(x)) непрерывна в точке х ₀.
Доказательство. Выберем произвольную как угодно малую окрестность U(z ₀) точки z ₀ = f (y ₀). Тогда в силу непрерывности функции f (y) найдётся такая окрестность V(y ₀) точки у₀, что, если у V(y ₀), то значения функции f (y) U(z ₀). Далее, для полученной окрестности V(y ₀) в силу непрерывности функции у = φ (x) в точке х ₀ существует такая окрестность W(x ₀), что если х W(x ₀), то значения функции у = φ(x) V(y ₀). Следовательно, для произвольной точки х W(x ₀) следует z = f (φ(x)) U(z ₀). Что и требовалось доказать.
Это можно записать ещё и так

.

Указанное выше свойство можно сформулировать в виде правила замены переменной: пусть функция у = φ (x) непрерывна в точке х ₀, а функция f (y) непрерывна в точке у ₀ = φ(x ₀), тогда

 

Определение монотонной функции. Теорема Вейерштрасса о существовании односторонних пределов у монотонной функции

Монотонные функции

Функция называется возрастающей на отрезке [ а, b ], принадлежащем области определения функции, если любому большему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее значение функции

x ₂ > x ₁→ f (x ₂) > f (x ₁) х ₁, x ₂ [ a, b ].

Функция называется убывающей на отрезке [ a, b ], если любому большему значению аргумента из этого интервала соответствуют меньшие значения функции

x ₂ > x ₁→ f (x ₂) < f (x ₁) х ₁, x ₂ [ a, b ].

Функции, убывающие или возрастающие на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями. Участки возрастания функции на рисунке отмечены синим цветом (в чёрно белом варианте более толстым форматом).
Участки убывания отмечены красным цветом (в чёрно белом варианте более тонким форматом), рис. 5.3.

Св-ва показательной функции

Свойства: x,yÎR.

1) a^X * a^Y = a^X+Y

x_N®x, y_N®y => a^Xn * a^Yn = a^Xn+Yn => Lim a^Xn * a^Yn = Lim a^Xn+Yn => Lim a^Xn * lim a^Yn = Lim a^Xn+Yn => a^X * a^Y = a^X+Y

2) a^X / a^Y = a^X-Y

3) (a^X)^Y=a^X*Y

x_N®x, y_K®y => (a^Xn)^Yk = a^Xn*Yk => (n®¥) (a^X)^Yk=a^X*Yk =>(k®¥) (a^X)^Y=a^X*Y

4) x<y => a^X<a^Y (a>1) - монотонность.

x<x’ x,x’ÎR; x_N®x x’_N®x’ x_N,x’_NÎQ => x_N<x’_N => a^Xn < a^X’n => (n®¥) a^X£a^X’- монотонна

x-x`>q>0 => a^X-X’ ³ a^Q>1 => a^X-X’¹1 => aX<a^X’ - строго монотонна

5) при x n®0 a^X ®1

Т.к. Lim a^1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a^-1/N=Lim1/a^1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n₀: "n>n₀ 1-E<a^-1/N<a^1/N<1+E, а>1. Если теперь |x|<1/n₀, то

a^-1/N<a^X<a^1/N => 1-E<a^X<1+E. => Lim a^X=1 (при x®0)

6) a^X - непрерывна

Lim a^X=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность a^X в точке 0 => a^X-a^Xo= a^Xo(a^X-Xo - 1) при х®x₀ x-x₀ n®0 => a^X-x₀ n®1 => при х®x₀ lim(a^X - a^Xo)=

Lim a^Xo*Lim(a^X-Xo - 1) = x₀ * 0 = 0 => a^X - непрерывна

18.Последовательность (1+1/n)ⁿ и ее предел.

x_N= ; y_N= ; z_N=y_N +

x_N монотонно возрастает: докажем:

x_N=(1+1/n)ⁿ=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n² +... < 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = y_N => y_N<z_N<3

Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)ⁿ³1+nx, x>-1) (доказывается по индукции):

x=1/n => (1+1/n)ⁿ³1+n/n=2

Получили: 2 £ x_N<3 => x_N - ограничена, учитывая что x_N - монотонно возрастает => x_N - сходится и ее пределом является число е.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

 

Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.

Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при хх₀ если Е>0 >0: 0<|х-х₀|< & хDf => |f(x)-А|<Е

Теорема: Два определения эквивалентны:

Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне следует сходимость по Коши.

1) (К)=>(Г)

Е>0 >0: 0<|х-х₀|< & хDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши

х_Nх₀, х_Nх₀, т.к. х_Nх₀ =>  n₀: n>n₀ 0<|x_N-x₀|<Е (Е=) => 0<|x_N-x₀|< => по определению Коши |f(x_N)-А|<Е

2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует отрицание А, то из А следует В:

Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)

Отрицание (К):  Е>0:  >0 x: 0<|x-x₀|< => |f(x)-A|E

Отрицание (Г):  х_Nх₀, х_Nх₀: |f(x_N)-A|E

 х_Nх₀, х_Nх₀ =>  n₀: n>n₀ 0<|x_N-x₀|<Е (Е=) => по отрицанию определения Коши |f(x_N)-А|Е

Для ф-ции хf(х) определенной на интервале (а,+), определяется предел при х_N следующим образом: limf(х) при х_N = Limf(1/t) t+0

(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при х_N = Lim f(1/t) t0 и х_N = lim f(1/t) t0

Критерий Коши существования предела функции

Функции многих переменных

Критерий Коши существования конечного предела.

Для существования конечного предела необходимо и достаточно, чтобы

"e>0$d>0"x¢,x¢¢ÎDÇ :|f(x¢¢)-f(x¢)|<e.

Доказательство проводится так же, как и для функции одного переменного.

Необходимость. e>0,e/2®$ "xÎ ÇD:|f(x)-A|<e/2. Для x¢,x¢¢Î ÇD получим требуемое неравенство |f(x¢)-f(x¢¢)|<|f(x¢)-A|+|f(x¢¢)-A|e/2+e/2=e.

Достаточность. Пусть {xk} последовательность типа Гейне. Тогда {f(xk)}

будет удовлетворять условию Коши для последовательностей, поэтому существует некоторый предел . Докажем, что для любой другой последовательности типа Гейне {yk} как в Гейне предел будет также равен B. Составим последовательность

Эта последовательность будет последовательностью типа Гейне и, как уже доказано, предел должен существовать. Тогда все частичные пределы должны совпадать, в частности, = .