Геометрический смысл условий монотонности.

Известно: – геометрический смысл производной ( угол между касательной и осью ).

y y

 

O x₀ x O x₀ x

Функция возрастает: , так как касательная наклонена к оси под острым углом .

Функция убывает: , так как касательная наклонена к оси под тупым углом .

Практическое правило для нахождения промежутков монотонности функции. Для нахождения промежутков монотонности функции достаточно

1) разбить область существования функции на интервалы точками, в которых ее первая производная равна нулю или не существует,

2) определить ее знак в каждом из этих интервалов. Для чего достаточно вычислить значение производной в какой-либо одной точке каждого интервала, ибо внутри каждого интервала производная сохраняет постоянный знак (или решить неравенства ).

Пример 1. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция определена на всей числовой оси

Найдем ее первую производную: . Она определена на всей числовой оси и равна нулю в точках (решается уравнение ).

Эти точки разбивают область определения функции на интервалы .

Определим знак производной в каждом из интервалов, для чего достаточно вычислить знак в какой-либо одной точке каждого интервала. Для первого интервала удобно взять , следовательно, в интервале функция возрастает. Для второго интервала удобно взять , , следовательно, в интервале функция убывает. Для третьего интервала , , следовательно, в интервале функция возрастает.

Результаты исследования приведены в таблице.

Интервал изменения				▼
	+	–	+
Поведение функции

Замечание. Условимся в дальнейшем возрастание, убывание функции на интервале обозначать так: .

Пример 2. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция определена на всей числовой оси

Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .

Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .

Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки и . Тогда , следовательно, на интервале функция возрастает; , значит, на интервале функция убывает; , значит, на интервале функция возрастает.

Интервал изменения				▼
	+	–	+
Поведение функции

Пример 3. Определить промежутки монотонности функции .

▲ Функция не определена , т. е. область определения функции .

Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю .

Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , .

Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки , . Тогда , следовательно, на интервалах и функция возрастает; , следовательно, на интервалах и функция убывает.

Интервал изменения					▼
	+	–	–	+
Поведение функции

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .

Определение 3. Точка называется точкой локального максимума, а значение функции в ней – локальным максимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Определение 4. Точка называется точкой локального минимума, а значение функции в ней – локальным минимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения в них – локальными экстремумами функции.

Необходимое условие существования точек экстремума функции.

Теорема 2.1. Для того чтобы точка была точкой экстремума функции , определенной в окрестности этой точки, необходимо выполнение одного из двух условий: либо ; либо производная не существует в точке (в частности, где – бесконечно большая функция).

Такие точки называются критическими, и они являются точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия экстремума.

I. Теорема 2.2. Пусть функция , определенная в окрестности точки , непрерывная в самой этой точке и дифференцируемая в некоторой – окрестности точки . Тогда справедливы следующие заключения:

1) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус), то – точка локального максимума функции ;

2) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс), то – точка локального минимума функции ;

3) если во всей – окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке экстремума функции .

II. Теорема 2.3. Пусть функция , определенная в окрестности точки , имеет производные до 2-го порядка включительно. Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно:

1) минимум, если ,

2) максимум, если .

Геометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов

y y

 

 

O x O x

 

Проследите за изменением производной в зоне :