Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Геометрический смысл условий монотонности.Содержание книги Похожие статьи вашей тематики
Поиск на нашем сайте
Известно: – геометрический смысл производной ( угол между касательной и осью ). y y
O x0 x O x0 x
Практическое правило для нахождения промежутков монотонности функции. Для нахождения промежутков монотонности функции достаточно 1) разбить область существования функции на интервалы точками, в которых ее первая производная равна нулю или не существует, 2) определить ее знак в каждом из этих интервалов. Для чего достаточно вычислить значение производной в какой-либо одной точке каждого интервала, ибо внутри каждого интервала производная сохраняет постоянный знак (или решить неравенства ). Пример 1. Определить промежутки монотонности функции . ▲ Функция определена на всей числовой оси Найдем ее первую производную: . Она определена на всей числовой оси и равна нулю в точках (решается уравнение ). Эти точки разбивают область определения функции на интервалы . Определим знак производной в каждом из интервалов, для чего достаточно вычислить знак в какой-либо одной точке каждого интервала. Для первого интервала удобно взять , следовательно, в интервале функция возрастает. Для второго интервала удобно взять , , следовательно, в интервале функция убывает. Для третьего интервала , , следовательно, в интервале функция возрастает. Результаты исследования приведены в таблице.
Замечание. Условимся в дальнейшем возрастание, убывание функции на интервале обозначать так: . Пример 2. Определить промежутки монотонности функции . ▲ Функция определена на всей числовой оси Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю . Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , . Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки и . Тогда , следовательно, на интервале функция возрастает; , значит, на интервале функция убывает; , значит, на интервале функция возрастает.
Пример 3. Определить промежутки монотонности функции . ▲ Функция не определена , т. е. область определения функции . Найдем ее первую производную: . Производная не существует и равна нулю . Этими точками разобьем область существования функции на интервалы , . Для определения знака производной в каждом интервале удобно взять точки , . Тогда , следовательно, на интервалах и функция возрастает; , следовательно, на интервалах и функция убывает.
ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , включая и саму точку . Определение 3. Точка называется точкой локального максимума, а значение функции в ней – локальным максимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство . Определение 4. Точка называется точкой локального минимума, а значение функции в ней – локальным минимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство . Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения в них – локальными экстремумами функции. Необходимое условие существования точек экстремума функции. Теорема 2.1. Для того чтобы точка была точкой экстремума функции , определенной в окрестности этой точки, необходимо выполнение одного из двух условий: либо ; либо производная не существует в точке (в частности, где – бесконечно большая функция). Такие точки называются критическими, и они являются точками, подозрительными на экстремум. Достаточные условия экстремума. I. Теорема 2.2. Пусть функция , определенная в окрестности точки , непрерывная в самой этой точке и дифференцируемая в некоторой – окрестности точки . Тогда справедливы следующие заключения: 1) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус), то – точка локального максимума функции ; 2) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс), то – точка локального минимума функции ; 3) если во всей – окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке экстремума функции . II. Теорема 2.3. Пусть функция , определенная в окрестности точки , имеет производные до 2-го порядка включительно. Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно: 1) минимум, если , 2) максимум, если . Геометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов y y
O x O x
Проследите за изменением производной в зоне :
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-14; просмотров: 2737; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.237.52 (0.007 с.) |