К исследованию поведения функций

 

 

Р Г Г М У

 

 

Санкт-Петербург

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ

УДК 51

Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 36 с.

 

Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.

 

 

© Веретенников В. Н.

© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.

Целью математического образования является:

1. Воспитание достаточно высокой математической культуры.

2. Привитие навыков современных видов математического мышления.

3. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.

 

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Основные теоретические сведения

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Определение 1. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Определение 2. Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Промежутки, на которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности.

ПРИЗНАКИ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИЙ

Следующая теорема выражает важный для практических целей признак возрастания и убывания функции и указывает правило для определения интервалов, в которых функция возрастает и убывает (иначе, интервалов монотонности функций).

При решении задач, в которых требуется определить интервалы возрастания и убывания функции, следует, прежде всего, определить область существования этой функции.

Теорема 1 (достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале). Если во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале возрастает. Если же во всех точках некоторого интервала первая производная , то функция в этом интервале убывает.