Применение дифференциального исчисления

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

ДЛЯ ВЫПОЛНЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

 

 

Р Г Г М У

 

 

Санкт-Петербург

Одобрено Научно-методическим советом РГГМУ

УДК 51

Веретенников В. Н. Учебно-методическое пособие для выполнения индивидуального задания. Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций. – СПб.: Изд. РГГМУ. 2007. – 36 с.

 

Активизация познавательной деятельности студентов, выработка у них способности самостоятельно решать достаточно сложные проблемы может быть достигнута при такой организации учебного процесса, когда каждому студенту выдаются индивидуальные домашние задания (ИДЗ) с обязательным последующим контролем их выполнения и выставлением оценок.

Предлагаемое пособие адресовано преподавателям и студентам и предназначено для проведения практических занятий и самостоятельных (контрольных) работ в аудитории и выдачи ИДЗ.

 

 

© Веретенников В. Н.

© Российский государственный гидрометеорологический университет (РГГМУ), 2007.

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

 

"Математика" является не только мощным средством решения прикладных гидрометеорологических задач, но также и элементом общей культуры. Именно в рамках математического образования студент получает навыки творческого подхода к решению интеллектуальных проблем, точному пониманию средств возможностей решения проблем, знакомится с современными информационными технологиями.

Целью математического образования является:

1. Воспитание достаточно высокой математической культуры.

2. Привитие навыков современных видов математического мышления.

3. Привитие навыков использования математических методов и основ математического моделирования в практической деятельности.

Воспитание у студентов математической культуры включает в себя ясное понимание необходимости математической составляющей в общей подготовке студента. Он должен выработать представление о роли и месте математики в современной цивилизации и в мировой культуре, уметь логически мыслить, оперировать с абстрактными объектами и быть корректным в употреблении математических понятий и символов для выражения количественных и качественных отношений.

В пособии приведены основные теоретические сведения, отражающие базисные понятия по разделу "Применение дифференциального исчисления к исследованию поведения функций"; базисные методы решения основных задач; приведен перечень знаний, умений и навыков, которыми должен владеть студент; указана используемая литература.

 

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

К ИССЛЕДОВАНИЮ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Одной из важнейших прикладных задач дифференциального исчисления является разработка общих приемов исследования поведения функций.

Основные теоретические сведения

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИЙ

Определение 1. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Определение 2. Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел из этого интервала из неравенства следует неравенство .

Промежутки, на которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности.

ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ

Рассмотрим функцию , определенную в некоторой окрестности точки , включая и саму точку .

Определение 3. Точка называется точкой локального максимума, а значение функции в ней – локальным максимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Определение 4. Точка называется точкой локального минимума, а значение функции в ней – локальным минимумом функции , если существует такое , что для всех , удовлетворяющих условию , верно неравенство .

Точки локального максимума и минимума называются точками локального экстремума, а значения в них – локальными экстремумами функции.

Необходимое условие существования точек экстремума функции.

Теорема 2.1. Для того чтобы точка была точкой экстремума функции , определенной в окрестности этой точки, необходимо выполнение одного из двух условий: либо ; либо производная не существует в точке (в частности, где – бесконечно большая функция).

Такие точки называются критическими, и они являются точками, подозрительными на экстремум.

Достаточные условия экстремума.

I. Теорема 2.2. Пусть функция , определенная в окрестности точки , непрерывная в самой этой точке и дифференцируемая в некоторой – окрестности точки . Тогда справедливы следующие заключения:

1) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с плюса на минус), то – точка локального максимума функции ;

2) если (т. е. при переходе через критическую точку производная меняет знак с минуса на плюс), то – точка локального минимума функции ;

3) если во всей – окрестности точки имеет один и тот же знак, то в точке экстремума функции .

II. Теорема 2.3. Пусть функция , определенная в окрестности точки , имеет производные до 2-го порядка включительно. Если , то функция имеет в точке экстремум, а именно:

1) минимум, если ,

2) максимум, если .

Геометрический смысл необходимых и достаточных условий экстремумов

y y

 

 

O x O x

 

Проследите за изменением производной в зоне :

I. Слева функция возрастает, т. е. . В точке . Справа функция убывает, т. е. .		I. Слева функция убывает, т. е. . В точке . Справа функция возрастает, т. е. .
II.	II.

АСИМПТОТЫ ГРАФИКА ФУНКЦИИ

Может оказаться, что размеры графика данной функции , не ограничены. Это бывает, когда функция не ограничена или когда она задана на неограниченном промежутке. В таких случаях часто представление о графике функции вне рамок чертежа дают асимптоты графика.

Определение. Прямая называется асимптотой кривой , если расстояние от точки кривой до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки по какой-либо части кривой от начала координат.

Различают три вида асимптот: вертикальные (параллельные оси ), горизонтальные (параллельные оси ) и наклонные (не параллельные ни одной из координатных осей).

Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено хотя бы одно из условий

.

Для разыскания вертикальных асимптот кривой поступаем следующим образом:

1) находим на оси точки разрыва функции ;

2) выделяем те из них, в которых хотя бы один из пределов функции (слева или справа) равен . Пусть это будут точки . Тогда прямые будут вертикальными асимптотами графика функции .

Наклонные асимптоты

Теорема 4. Для того чтобы график функции имел наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали оба предела

.

Аналогично для случая .

Горизонтальная асимптота (частный случай наклонной асимптоты )

Если функция имеет конечный предел, равный числу : , то прямая есть горизонтальная асимптота соответственно для правой или левой ветви графика функции .

Правило отыскания асимптот очевидно из следующего образца.

Пример 10. Найти асимптоты кривой .

1. ▲ Найдем область определения функции: .

.

Функция не определена в точках . Определим тип разрыва в этих точках, для чего вычислим пределы ,

,

,

.

Следовательно, прямые вертикальные асимптоты.

2. Найдем левую наклонную асимптоту:

;

.

Следовательно, имеем слева горизонтальную асимптоту .

Найдем правую наклонную асимптоту:

 

;

.

Значит, справа имеем горизонтальную асимптоту .

▼

Пример 11. Найти асимптоты кривой .

1. ▲ Найдем область определения функции: . Функция не определена в точке . Определим тип разрыва в этой точке, для чего вычислим пределы

Аналогично получаем .

Прямая – вертикальная асимптота.

2. Для нахождения левой наклонной асимптоты вычислим

,

.

Следовательно, прямая – левая наклонная асимптота.

Аналогично для правой наклонной асимптоты получаем

.

Следовательно, прямая – наклонная асимптота.

 

▼

Пример 12. Найти асимптоты кривой .

1. ▲ Найдем область определения функции: . Поэтому вертикальная асимптота может существовать лишь на конечной границе области определения. Найдем

.

Значит, прямая – вертикальная асимптота.

2. Найдем правую наклонную асимптоту (так как ):

.

.

Следовательно, наклонной асимптоты нет.

▼

 

Элементарное исследование

1. Найти область определения функции.

2. Найти точки разрыва функции. Их характер. Вертикальные асимптоты.

3. Исследовать функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

4. Определить, если это не вызовет особых затруднений, точки пересечения графика функции с осями координат. Найти интервалы знакопостоянства.

5. Вычислить предельные значения функции в ее граничных точках.

6. Выяснить существование наклонных асимптот.

Промежутки знакопостоянства

		–1
	+		+		–

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

.

к. т. I.

Область определения функции разобьем на интервалы и определим знак в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

		–3		–1
	–		+		–		–

Так как функция в точке определена и непрерывна и при переходе через нее меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке минимум, причем .

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

к. т. II.

Область определения функции разобьем на интервалы и определим знак в каждом из них. Результат исследования знака функции на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

		–1
	+		+		–

При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, это точка перегиба функции, причем . Точка не является точкой перегиба.

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

▼

Пример 14. Провести полное исследование функции и построить ее график.

▲ Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции. .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Функция общего вида.

. Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот.

Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.

Найдем наклонные асимптоты .

Слева .

,

 

.

Уравнение наклонной асимптоты слева .

Справа .

,

.

Уравнение наклонной асимптоты справа .

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения с осью :

.

Точки пересечения с осью : .

Промежутки знакопостоянства

	–		+		+

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

.

к. т. I.

Область определения функции разобьем на интервалы и определим знак в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

	+		+		–		+

Так как функция в точке определена и непрерывна и при переходе через нее меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, причем . В точке функция определена и непрерывна и при переходе через нее меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этой точке минимум, причем .

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

.

к. т. II.

Область определения функции разобьем на интервалы , и определим знак в каждом из них. Результат исследования знака функции на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

		–0.646						4.646
	–		+		–		–		+

При переходе через точки вторая производная меняет знак, следовательно, это точки перегиба функции, причем

,

.

Точки перегиба: .

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

▼

Пример 15. Провести полное исследование функции и построить ее график.

▲ Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции. .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Функция общего вида.

. Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот.

Вертикальных асимптот нет, так как нет точек разрыва.

Найдем наклонные асимптоты .

Слева .

. Слева наклонной асимптоты нет.

Справа .

,

.

Справа горизонтальная асимптота: .

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы знакопостоянства функции.

Точки пересечения с осью : .

Точки пересечения с осью : .

Промежутки знакопостоянства

	–		+

II. Исследование графика функции по первой производной.

Для нахождения участков монотонности и экстремальных точек найдем первую производную функции:

.

к. т. I.

Область определения функции разобьем на интервалы и определим знак в каждом из них (для удобства вычислений в каждом интервале выбираем фиксированную точку). Результаты исследования знака производной на интервалах между критическими точками (с учетом ) с указанием поведения функции на этих интервалах занесем в таблицу:

	+		–

Так как функция в точке определена и непрерывна и при переходе через нее меняет знак с плюса на минус, то в этой точке максимум, причем .

III. Исследование графика функции по второй производной.

Для нахождения участков выпуклости вверх и вниз найдем вторую производную функции

.

к. т. II.

Область определения функции разобьем на интервалы и определим знак в каждом из них. Результат исследования знака функции на указанных интервалах с указанием выпуклости вверх и вниз запишем в таблицу:

	–		+

При переходе через точку вторая производная меняет знак, следовательно, это точка перегиба функции, причем . Точка перегиба: .

Построение графика начнем с нанесения асимптот, точек пересечения с осями координат, экстремума, перегиба и фрагментов графика функции вблизи этих точек и асимптот.

В окончательном виде график изображен на следующем рисунке.

▼

Пример 16. Провести полное исследование функции и построить ее график.

▲ Исследование функции будем проводить, придерживаясь приведенной выше схемы.

I. Элементарное исследование

· Область определения функции . Точка разрыва: .

· Исследуем функцию на симметричность (определить четность и нечетность функции) и периодичность.

Функция общего вида.

. Функция не периодична.

· Выясним существование асимптот. В точке функция имеет разрыв II рода, ибо,

в остальных точках она непрерывна. Прямая является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонные асимптоты .

Слева .

,

.

Уравнение горизонтальной асимптоты слева: .

Справа .

.

Справа наклонной асимптоты нет.

· Определим точки пересечения графика функции с координатными осями, найдем интервалы