Действия с комплексными числами

Время проведения – 2 часа.

Цель работы: отработать навыки выполнения действий с комплексными числами; научиться решать квадратные уравнения, дискриминант которых отрицателен.

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие мнимой единицы;

2. Понятие комплексного числа;

3. Понятие модуля и аргумента комплексного числа;

4. Равенство комплексных чисел;

5. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен;

6. Действие над комплексными числами в алгебраической форме;

7. Геометрическая интерпретация комплексного числа;

8. Тригонометрическая форма комплексного числа;

Содержание работы:

1. Решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен;

2. Выполнение действий над комплексными числами;

3. Геометрическая интерпретация комплексного числа;

4. Представление комплексного числа в тригонометрической форме.

Литература: [1, с.17-23]

Порядок выполнения задания:

При выполнении первого задания необходимо учитывать следующее: в комплексных числах можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа, так как , где - мнимая единица. Следовательно, в поле комплексных чисел разрешимо любое квадратное уравнение, в том числе с отрицательным дискриминантом.

Пример: Решить уравнение

Решение:

Найдем дискриминант , , следовательно, уравнение имеет мнимые корни, которые находят по формуле

Ответ:

Для выполнения второго, третьего заданий необходимо уметь применять операции над комплексными числами и знать правило равенства комплексных чисел.

Отметим, что с комплексными числами, записанными в алгебраической форме, операции сложения, вычитания и умножения можно производить также, как с действительными биномами, деление выполняют путем умножения делимого и делителя на число, сопряженное делителю. Правило равенства: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны коэффициенты мнимых частей.

Пример: Найдите сумму, разность, произведение, частное двух комплексных чисел

Решение:

, где

Ответ: , , ,

Пример: Найдите действительные решения уравнения

Решение:

В соответствии с правилом равенства получаем:

Ответ:

Для выполнения четвертого, пятого заданий необходимо знать тригонометрическую форму записи комплексного числа и его геометрическую интерпретацию.

Геометрическая интерпретация комплексных чисел состоит в том, что каждому комплексному числу ставится в соответствие точка М координатной плоскости таким образом, что действительная часть комплексного числа представляет собой абсциссу (ось называют действительной), а коэффициент при мнимой части – ординату точки (ось называют мнимой).

y
b		М
	r	φ
0		a	x

 

Расстояние от начала системы координат до точки, соответствующей комплексному числу , называют модулем этого числа, который вычисляют по формуле: . Угол между положительной полуосью и лучом называют аргументом комплексного числа . Выражение называют тригонометрической формой комплексного числа.

Пример: Изобразить на комплексной плоскости число и записать его в тригонометрической форме.

Решение:

Комплексному числу соответствует точка плоскости

y		M
1	r φ
0		X

 

Для комплексного числа имеем: , (по чертежу).

Поэтому в тригонометрической форме комплексное число имеет вид:

Ответ:

Вариант 1

1. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

2. Выполнить действия над комплексными числами, представив результат в алгебраической форме

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

3. Найти действительные решения уравнения

1)

2)

4. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа

1)

2)

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме

 

Вариант 2

1. Решить уравнение

1)

2)

3)

4)

2. Выполнить действия над комплексными числами, предствавив результат в алгебраической форме

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

3. Найти действительные решения уравнения

1)

2)

4. Изобразите на комплексной плоскости следующие комплексные числа

1)

2)

5. Записать комплексное число в тригонометрической форме

 

 

Практическая работа № 8