Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Время проведения – 2 часа.

Цель работы: научиться решать системы линейных уравнений методом Крамера;

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие системы линейных уравнений;

2. Совместные и несовместные системы линейных уравнений;

3. Понятие матрицы;

4. Понятие определителя матрицы;

5. Формула определителя второго порядка;

6. Формула определителя третьего порядка;

7. Свойства определителя n-го порядка;

8. Решение систем линейных уравнений методом Крамера;

Содержание работы:

1. Нахождение определителя матрицы;

2. Решение систем линейных уравнений методом Крамера.

Порядок выполнения задания:

При выполнении первого задания используются формулы для вычисления определителей первого и второго порядка, а также правило разложения определителя n-го порядка по строке или столбцу.

Пусть задана квадратная матрица второго порядка . Определитель этой матрицы (определитель второго порядка) вычисляется следующим образом:

Пример: Вычислить определитель

Решение:

Имеем определитель второго порядка. Используем формулу, указанную выше.

Ответ:

Пусть задана квадратная матрица третьего порядка . Определитель этой матрицы (определитель третьего порядка) вычисляется следующим образом:

Определитель третьего порядка вычислить легко, если учесть следующее правило: со знаком плюс идут произведения троек чисел, расположенных на главной диагонали матрицы, и в вершинах треугольников с основанием параллельным этой диагонали и вершиной противоположного угла матрицы. Со знаком минус идут тройки из второй диагонали и из треугольников, построенных относительно этой диагонали. Это правило называют правилом треугольников.

Пример: Вычислить определитель

Решение:

Имеем определитель третьего порядка, для его вычисления воспользуемся правилом треугольников:

Ответ:

Для определителей четвертого и более высоких порядков обычно применяют разложение по элементам строки или столбца. Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраическое дополнение (число , где - минор к элементу определителя порядка, то есть определитель порядка, полученный из исходного вычеркиванием строки и столбца). Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули.

Пример: Вычислить определитель

Решение:

Используем формулу разложения по элементам второй строки:

Ответ:

При решении второго задания используется метод Крамера – способ решения квадратных систем линейных уравнений, который основан на следующей теореме Крамера: если определитель матрицы квадратной системы не равен нулю, то система совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера: , где - определитель матрицы системы, - определитель матрицы системы, где вместо столбца стоит столбец правых частей.

Пример: Найдите решение системы линейных уравнений при помощи метода Крамера.

Решение:

Вычисляем определитель матрицы системы по формуле:

Имеем,

Так как , то по Теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители. Определитель получим из определителя заменой его первого столбца столбцом свободных коэффициентов. Будем иметь:

Аналогично, определитель получается из определителя матрицы системы путем замены второго столбца столбцом свободных коэффициентов6

Тогда получаем:

Ответ:

Пример: Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение:

Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы . Найдем ее определитель по формуле:

Имеем,

Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно. система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Вычислим определители .

Таким образом,

Ответ:

Пример: Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера

Решение:

Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки:

Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому для решения системы можно воспользоваться методом Крамера. Найдем .

Аналогично вычисляются:

Таким образом,

Ответ:

Вариант 1	Вариант 2
1. Вычислить определители: 1) 2) 3) 2. Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)	1. Вычислить определители: 1) 2) 3) 2. Решите системы линейных уравнений методом Крамера: 1) 2) 3) 4) 5)

 

Практическая работа № 9