Вычисление вероятности события

Время проведения – 2 часа.

Цель работы: вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности; вычисление вероятностей совместных событий; определение вероятности по формулам суммы и произведения.

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие события;

2. Понятие случайного события;

3. Понятие достоверного события;

4. Понятие невозможного события;

5. Понятие противоположного события;

6. Понятие несовместного события;

7. Понятие совместного события;

8. Понятие разности событий;

9. Понятие независимых событий;

10. Понятие зависимых событий;

11. Понятие условной вероятности;

12. Классическое определение вероятности;

13. Вероятность суммы несовместных событий;

14. Вероятность суммы совместных событий;

15. Вероятность произведения зависимых событий;

16. Вероятность произведения независимых событий;

Содержание работы:

1. Вычисление вероятности событий по классической формуле определения вероятности;

2. Определение вероятности по формуле суммы;

3. Определение вероятности по формуле произведения.

Порядок выполнения задания:

Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события. Если, в частности, множество состоит из равновозможных элементарных событий, то вероятность , где - число благоприятных исходов , - число всех всевозможных исходов (классическое определение вероятности).

Пример: В ящике пять пронумерованных шаров с номерами от 1 до 5. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превышает 5?

Решение:

Так как номер шара не превышает 5, то число случаев благоприятных событию , равно числу всех случаев . Следовательно ., то есть событие достоверное.

Ответ:

Пример: Бросают две игральные кости. Какое событие более вероятно: сумма очков на выпавших гранях равна 11 или сумма очков на выпавших гранях равна 4?

Решение:

Поставим в соответствие исходу эксперимента упорядоченную пару чисел , где - число очков, выпавших на первой кости, а - на второй.

Пространство всех элементарных событий состоит из множества пар , где и принимают значения от 1 до 6. Число таких пар 36. Событию , состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна 11, благоприятны два элементарных события и . Событию , состоящему в том, что сумма очков, выпавших на двух костях, равна 4, благоприятны три элементарных события, которым соответствуют .

Имеем, , следовательно, событие более вероятно.

Ответ: событие более вероятно.

Теорема сложения вероятностей: Вероятность суммы двух совместных событий и равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, то есть . Вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей, то есть . Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий.

Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения двух зависимых событий и равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, при условии, что первое наступило, то есть . Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, то есть .

Обобщенная теорема умножения: Вероятность произведения событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий.

Пример: Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка – 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка попадут в цель.

Решение:

Пусть событие - первый стрелок попал в цель, событие - второй стрелок попал в цель, событие - третий стрелок попал в цель, тогда - все три стрелка попадут в цель.

Ответ:

Пример: Идет бомбардировка трех складов боеприпасов. Сбрасывают одну бомбу. Вероятность попадания в первый склад равна 0,01; во второй 0,008; в третий 0,025. При попадании в любой из них взрываются все. Найти вероятность того, что склады будут взорваны.

Решение:

Событие - взрыв складов, - попадание в первый склад, - попадание во второй склад, - попадание в третий склад, следовательно, . Так как несовместны, то

Ответ:

Пример: Имеется три ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение:

Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие ) равна .

Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие ) равна .

Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие ) равна

Так как события независимы, то искомая вероятность события (по теореме умножения) равна

Ответ:

Пример: Бросают две монеты. Рассматриваются события - выпадение герба на первой монете, - выпадение герба на второй монете. Найти вероятность события

Решение:

Так как и - несовместны, то , или через противоположное событие

Ответ:

Пример: Из 12 аппаратов четыре первого типа и восемь второго. Случайным образом из них выбирают три аппарата последовательно (без возвращения). Найти вероятность того, что при первом и третьем будут выбраны аппараты второго типа, а вторым – аппарат первого типа.

Решение:

Пусть - выбран первый аппарат, - выбран второй аппарат, - выбран третий аппарат. По классической формуле определим , то есть первый аппарат второго типа, , то есть второй аппарат первого типа, а всего аппаратов осталось 11, , так как третий аппарат второго типа, а их осталось 7, и всего аппаратов 10.

Ответ:

 

Вариант 1

1. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.

2. Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) не менее двух раз; б) менее двух раз

3. Имеются две одинаковые урны. В первой урне находятся 3 белых и 5 черных шаров, во второй – 3 белых и 7 черных шаров. Из одной наугад выбранной урны извлекается шар. Определить вероятность того, что шар черный.

Вариант 2

1. Набирая номер телефона абонент забыл последние 3 цифры, и помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.

2. Пусть вероятность того, что наудачу взятая деталь нестандартная, равно 0,1. Найти вероятность того, что среди взятых наудачу 5 деталей не более двух нестандартных.

3. Имеются три одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 5 черных шаров, во второй – 3 белых и 2 черных, в третьей – 7 белых и 3 черных. Из одной наугад выбранной урны извлекают шар. Определить вероятность того, что шар будет белый.

Практическая работа № 10

Операции над множествами

Время проведения – 2 часа.

Цель работы: формирование умений выполнять действия над множествами;

Вопросы для подготовки к работе:

1. Понятие множества, подмножества;

2. Принадлежность элемента множеству;

3. Равенство множеств;

4. Пустое множество;

5. Конечное множество;

6. Бесконечное множество;

7. Дополнение множества;

8. Включение подмножества в множество;

9. Способы задания множеств;

10. Диаграмма Эйлера-Венна;

11. Операции над множествами.

Содержание работы:

1. Задание множеств;

2. Выполнение операций над множествами.

Порядок выполнения задания:

При решении первого задания необходимо множество задать перечислением всех своих элементов – это один из способов задания множеств, если оно конечно.

Пример: Множество задать перечислением всех своих элементов.

Решение:

Найдем множество действительных решений уравнения

или

Все корни уравнения действительные, то есть удовлетворяют условию , следовательно

Ответ:

Пример: Множество задать перечислением всех своих элементов.

Решение:

Решим неравенство методом интервалов

Найдем корни квадратного трехчлена:

-1,5		0 1		x

Решением неравенства является отрезок , то есть

Итак, согласно условию , отметим, что из данного промежутка действительным числам принадлежит только , следовательно - множество из одного элемента.

Ответ:

Для выполнения второго, третьего заданий используются понятия объединения, пересечения, разности, равенства, дополнения множеств, диаграмма Эйлера-Венна.

Пример:

Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

Решение:

Определим элементы множества . Для этого найдем сначала пересечение множеств . Элементы и одновременно принадлежат множеству и , следовательно, . Аналогично . Таким образом, объединение .

Для построения диаграммы Венна рассмотрим, как связаны между собой множества и , в примере все три множества пересекаются между собой:

A B

X

 

C

 

Определим элементы множества . Найдем дополнение . Универсальное множество по условию задания состоит из 26 букв . Если отсюда исключить пять элементов множества , то получим множество из двадцати одноИго элемента . Пересечение множеств состоит из элементов , то есть всех элементов множества , которые не принадлежат . Для нахождения разности множеств вычеркнем из множества элементы , принадлежащие . Получим . В итоге .

Строим диаграмму Венна:

A B

Y

D

C

 

Вариант 1

1. Множества задать перечислением всех своих элементов

1)

2)

2. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

3. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

 

Вариант 2

1. Множества задать перечислением всех своих элементов

1)

2)

2. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

3. Даны множества . Найдите множества и . Составьте диаграммы Венна.

 

 

ЛИТЕРАТУРА:

Основные источники:

1. Богомолов Н. В., Самойленко П. И. Математика: Учебное пособие для техникумов, 7-е издание. - М.: Дрофа, 2010. – 400 с.

2. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов / Н.В. Богомолов.-М.: Дрофа, 2010. - 204 с.

Дополнительные источники:

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович. — 10-е изд., стер. — М.: Мнемозина, 2009. — 399 с.

2. Филимонова Е.В. Математика: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений.- Ростов н/Д: Феникс, 2005.- 416с. (Серия «Среднее профессиональное образование»).