Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.

Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.

Опр.: Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания.

Опр.: Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Опр.: Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

Опр.: Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта.

Опр.: Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

Опр.: Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие . Противоположные события несовместны и единственно возможны.

Опр.: Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события будем обозначать символом .

Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Из формулы следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев: .

Аксиома 1. Каждому событию соответствует определенное число , удовлетворяющее условию и называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Свойства вероятности:

1. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления , так как в этом случае :

2. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события :

 

где — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события :

3. Если событие A влечет за собой событие B, т.е. A ⊂ B, то вероятность события C, где C — разность событий B и A, определяется соотношением P(C) = P(B \ A) = P(B) − P(A).

4. Если событие A влечет за собой событие B, т.е. A ⊂ B, то вероятность события A не может быть больше вероятности события B, т.е. P(A) ≤ P(B).

5. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P(A) ≤ 1

6. Вероятность суммы любых двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

7. Вероятность суммы событий не превосходит сумму вероятностей этих событий: P(A + B) ≤ P(A) + P(B).

 

Равномерный закон распределения

Опр.:Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т.е.

0 при х≤а,

f(х)=

при a<х<b,

 

0 при х≥b.

 

График функции f(x) изображен на рис. 1

 

(рис. 1) (рис.2)

 

Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, задается формулой:

 

0 при х≤а,

F(х)= при a<х≤b,

0 при х>b.

Ее график изображен на рис. 2.

 

Аксиомы теории вероятностей. Свойства вероятности.

Опр.: Под событием понимают любой факт, который может произойти в результате опыта или испытания.

Опр.: Под опытом, или испытанием, понимается осуществление определённого комплекса условий.

Опр.: Различают события совместные и несовместные. События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого. В противном случае события называются несовместными.

Опр.: Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в условиях данного опыта. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в условиях данного опыта.

Опр.: Событие называется возможным, или случайным, если в результате опыта оно может появиться, но может и не появиться.

Опр.: Под противоположным событием понимается событие, которое обязательно должно произойти, если не наступило некоторое событие . Противоположные события несовместны и единственно возможны.

Опр.: Вероятностью события называется число, являющееся выражением меры объективной возможности появления события.

Вероятность события будем обозначать символом .

Вероятность события равна отношению числа случаев , благоприятствующих ему, из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместных случаев к числу , т. е.

Из формулы следует, что вероятность события является неотрицательным числом и может изменяться в пределах от нуля до единицы в зависимости от того, какую долю составляет благоприятствующее число случаев от общего числа случаев: .

Аксиома 1. Каждому событию соответствует определенное число , удовлетворяющее условию и называемое его вероятностью.

Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице.

Аксиома 3. Вероятность невозможного события равна нулю.

Аксиома 4. (аксиома сложения). Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме их вероятностей.

Свойства вероятности:

1. Если нет ни одного случая, благоприятствующего данному событию , то это событие в результате опыта произойти не может. Следовательно, рассматриваемое событие является невозможным, а вероятность его появления , так как в этом случае :

2. Вероятность наступления противоположного события определяется так же, как и вероятность наступления, события :

 

где — число случаев, благоприятствующих появлению противоположного события . Отсюда вероятность наступления противоположного события равна разнице между единицей и вероятностью наступления события :

3. Если событие A влечет за собой событие B, т.е. A ⊂ B, то вероятность события C, где C — разность событий B и A, определяется соотношением P(C) = P(B \ A) = P(B) − P(A).

4. Если событие A влечет за собой событие B, т.е. A ⊂ B, то вероятность события A не может быть больше вероятности события B, т.е. P(A) ≤ P(B).

5. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей: 0 ≤ P(A) ≤ 1

6. Вероятность суммы любых двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB).

7. Вероятность суммы событий не превосходит сумму вероятностей этих событий: P(A + B) ≤ P(A) + P(B).