Тема 3: Теоремы сложения и умножения вероятностей

Тема 1: Определения вероятностей

1. В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …

Решение:
Для вычисления события (среди отобранных деталей нет годных) воспользуемся формулой , где n – общее число возможных элементарных исходов испытания, а m – число элементарных исходов, благоприятствующих появлению события . В нашем случае общее число возможных элементарных исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три детали из 12 имеющих, то есть . А общее число благоприятствующих исходов равно числу способов, которыми можно извлечь три бракованные детали из пяти, то есть . Следовательно,

 

Тема 2: Алгебра событий

1. Два студента сдают экзамен. Если ввести события (экзамен успешно сдал первый студент) и (экзамен успешно сдал второй студент), то событие, заключающееся в том, что экзамен сдадут успешно оба студента, будет представлять собой выражение …

Решение:
То, что экзамен сдадут оба студента означает, что и первый, и второй студент сдадут экзамен, то есть речь идет о совместном наступлении этих событий. А событие, состоящее в совместном наступлении нескольких событий, называется их произведением. Правильным будет ответ:

 

2. Операции сложения и умножения событий не обладают свойством …

Решение:
Операции сложения и умножения событий обладают свойствами:
а) коммутативности сложения
б) коммутативности умножения
в) ассоциативности сложения
Следовательно, операции сложения и умножения событий не обладают свойством

Тема 3: Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два черных шара. После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что хотя бы один шар будет белым, равна …

Решение:
Введем обозначения событий: – -ый вынутый шар будет белым, A – хотя бы один шар будет белым. Тогда где – -ый вынутый шар не будет белым. Так как по условию задачи события , и зависимы, то

 

2. В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два белых шара. После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут белыми, равна …

Решение:
Введем обозначения событий: – -ый вынутый шар будет белым, A – все три шара будут белыми. Тогда и так как по условию задачи события , и зависимы, то

 

3. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,95, а вторым – 0,80. Оба стрелка стреляют одновременно. Тогда вероятность того, что цель будет поражена только одним стрелком, равна …

0,23

0,95

0,875

0,17

Решение:
Введем обозначения событий: (цель поражена первым стрелком), (цель поражена вторым стрелком). Так как эти события независимы, то искомую вероятность можно вычислить как:

 

4. Наладчик обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение часа потребует его вмешательства первый станок, равна 0,15; второй –0,05; третий –0,2. Тогда вероятность того, что в течение часа потребуют вмешательства наладчика все три станка, равна …

0,0015

0,4

0,015

0,9985

Решение:
Введем обозначения событий: (вмешательства наладчика потребует -ый станок), (вмешательства наладчика потребуют все три станка).
Тогда

 

Тема 5: Законы распределения вероятностей одномерных дискретных случайных величин

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …

Решение:

 

2. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда значения a и b могут быть равны …

Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то Этому условию удовлетворяет ответ:

 

3. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Решение:

 

Тема 25: Вариационный ряд

1. Статистическое распределение выборки имеет вид

Тогда значение относительной частоты равно …

0,25

0,05

0,26

0,75

Решение:
Сумма относительных частот равна единице. Поэтому

 

2. Из генеральной совокупности извлечена выборка объема :

Тогда значение равно …

Решение:
Объем выборки вычисляется по формуле , где – частота варианты . Тогда

 

Тема 29: Основные понятия об оценках параметров распределения

1. Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда точность этой оценки равна …

1,12

0,01

2,24

13,56

Решение:
Точность интервальной оценки определяется как то есть

 

3. Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при увеличении объема выборки этот доверительный интервал может принять вид …

Решение:
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае увеличения объема выборки точность оценки улучшается, то есть значение будет меньше 1,14.

 

4. Дан доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака. Тогда при уменьшении надежности (доверительной вероятности) оценки доверительный интервал может принять вид …

Решение:
Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормально распределенного количественного признака можно представить в виде симметричного интервала , где точечная оценка математического ожидания , а точность оценки . В случае уменьшения надежности точность оценки улучшается, то есть значение будет меньше 0,85.

 

Кейс 1 подзадача 1

1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,19

0,81

0,01

0,18

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 4 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 4 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,4375

0,5625

0,0625

0,375

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 6 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 6 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

 

3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,36

0,64

0,04

0,32

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 5 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 5 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

 

4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,64

0,36

0,16

0,24

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 2 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 2 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

 

Кейс 1 подзадача 2

1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1081,5; 1082,5)

(1081,0; 1082,0)

(1080,5; 1081,5)

(1080,0; 1081,0)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1081,5; 1082,5) и (1081,0; 1082,0).

 

2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1123,5; 1127,5)

(1121,5; 1125,0)

(1118,5; 1122,5)

(1115,5; 1121,0)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1123,5; 1127,5) и (1121,5; 1125,0).

 

3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1101,0; 1103,4)

(1100,4; 1103,0)

(1099,9; 1102,4)

(1099,4; 1102,0)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1101,0; 1103,4) и (1100,4; 1103,0).

 

4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1040,0; 1041,0)

(1039,5; 1040,5)

(1039,0; 1040,0)

(1038,5; 1039,5)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы:
(1040,0; 1041,0) и (1039,5; 1040,5).

 

Кейс 1 подзадача 3

1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1065,024

1065,00

1064,976

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как

где а
Тогда

 

2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1060,90

1060,00

1059,10

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как:

где а
Тогда

 

3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1060,90

1050,00

1059,10

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как

где а
Тогда

 

4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1008,016

1008,00

1007,944

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как

где а
Тогда

 

Кейс 2 подзадача 1

1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «средний», можно оценить как …

Решение:
Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «средний», можно оценить как

 

2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «крупный», можно оценить как …

Решение:
Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «крупный», можно оценить как

 

3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Вероятность того, что кредит долгосрочный, если он «мелкий», можно оценить как …

Решение:
Вероятность того, что кредит долгосрочный, если он «мелкий», можно оценить как

 

Кейс 2 подзадача 2

1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Выдан долгосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи.

1. «Крупный»
2. «Средний»
3. «Мелкий»

Решение:
1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он долгосрочный, можно оценить как
2. Вероятность того, что кредит «средний», если он долгосрочный, можно оценить как
3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он долгосрочный, можно оценить как

 

2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Выдан краткосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи.

1. «Крупный»
2. «Средний»
3. «Мелкий»

Решение:
1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он краткосрочный, можно оценить как
2. Вероятность того, что кредит «средний», если он краткосрочный, можно оценить как
3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он краткосрочный, можно оценить как

 

3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Выдан краткосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи.

1. «Крупный»
2. «Средний»
3. «Мелкий»

Решение:
1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он краткосрочный, можно оценить как
2. Вероятность того, что кредит «средний», если он краткосрочный, можно оценить как
3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он краткосрочный, можно оценить как

 

Кейс 2 подзадача 3

1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

В рассматриваемом периоде банк выдал 100 кредитов. Если средний размер кредита «Мелкий» был равен 100 тыс. руб., кредита «Средний» – 700 тыс. руб., кредита «Крупный» – 2 млн руб., то объем кредитного портфеля банка составит ____ млн руб.

Решение:
Объем кредитного портфеля банка составит:
млн руб.

 

2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

В рассматриваемом периоде банк выдал 100 кредитов. Если средний размер кредита «Мелкий» был равен 100 тыс. руб., кредита «Средний» – 400 тыс. руб., кредита «Крупный» – 2 млн руб., то объем кредитного портфеля банка составит ____ млн руб.

Решение:
Объем кредитного портфеля банка составит:
тыс. руб., или 76 млн. руб.

 

3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

В рассматриваемом периоде банк выдал 100 кредитов. Если средний размер кредита «Мелкий» был равен 100 тыс. руб., кредита «Средний» – 600 тыс. руб., кредита «Крупный» – 2 млн руб., то объем кредитного портфеля банка составит ____ млн руб.

Решение:
Объем кредитного портфеля банка составит:
тыс. руб., или 82 млн руб.

 

Кейс 3 подзадача 1

1. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,6. Каждый построенный дом окупает 80 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,288

0,432

0,216

0,6

0,36

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

2. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,9. Каждый построенный дом окупает 50 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,027

0,243

0,729

0,9

0,81

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

3. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,8. Каждый построенный дом окупает 60 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,096

0,384

0,512

0,8

0,64

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

4. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,7. Каждый построенный дом окупает 70 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,189

0,441

0,343

0,7

0,49

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

Кейс 3 подзадача 2

1. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,6. Каждый построенный дом окупает 80 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Если обозначить через количество построенных компанией домов, то случайную величину S – прибыль компании (в млн руб.) – можно определить как …

Решение:
Так как каждый построенный дом окупает 80% всех затрат по проекту, а именно млн руб., то прибыль компании можно определить как

 

2. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для стро