Тема 4: Полная вероятность и формулы Байеса

1. В первой урне 3 черных шара и 7 белых шаров. Во второй урне 4 белых шара и 6 черных шаров. Из наудачу взятой урны вынули один шар, который оказался черным. Тогда вероятность того, что этот шар вынули из второй урны, равна …

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A (вынутый наудачу шар – черный) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что шар извлечен из первой урны; – вероятность того, что шар извлечен из второй урны; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из первой урны; – условная вероятность того, что вынутый шар черный, если он извлечен из второй урны.
Тогда
Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из второй урны, по формуле Байеса:

 

2. Банк выдает 40% всех кредитов юридическим лицам, а 60% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,1; а для физического лица эта вероятность составляет 0,05. Получено сообщение о невозврате кредита. Тогда вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, равна …

0,07

0,05

Решение:
Предварительно вычислим вероятность события A (выданный кредит не будет погашен в срок) по формуле полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

Теперь вычислим условную вероятность того, что этот кредит не погасило физическое лицо, по формуле Байеса:

 

3. Банк выдает 35% всех кредитов юридическим лицам, а 65% – физическим лицам. Вероятность того, что юридическое лицо не погасит в срок кредит, равна 0,15; а для физического лица эта вероятность составляет 0,1. Тогда вероятность непогашения в срок очередного кредита равна …

0,1175

0,125

0,8825

0,1275

Решение:
Для вычисления вероятности события A (выданный кредит не будет погашен в срок) применим формулу полной вероятности: . Здесь – вероятность того, что кредит был выдан юридическому лицу; – вероятность того, что кредит был выдан физическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан юридическому лицу; – условная вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, если он был выдан физическому лицу. Тогда

 

Тема 5: Законы распределения вероятностей одномерных дискретных случайных величин

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:
Тогда вероятность равна …

Решение:

 

2. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда значения a и b могут быть равны …

Решение:
Так как сумма вероятностей возможных значений равна 1, то Этому условию удовлетворяет ответ:

 

3. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Решение:

 

Тема 6: Функция распределения вероятностей дискретной случайной величины

1. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение:
По определению
Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , .
Следовательно,

 

2. Для дискретной случайной величины :

функция распределения вероятностей имеет вид:

Тогда значение параметра может быть равно …

0,7

0,85

0,6

Решение:
По определению Следовательно, и . Этим условиям удовлетворяет, например, значение .

 

3. Дискретная случайная величина задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее функция распределения вероятностей имеет вид …

Решение:
По определению . Тогда
а) при , ,
б) при , ,
в) при , ,
г) при , ,
д) при , .
Следовательно,

 

4. Для дискретной случайной величины :

функция распределения вероятностей имеет вид:

Тогда значение параметра может быть равно …

0,655

0,25

0,45

Решение:
По определению Следовательно, и Этим условиям удовлетворяет, например, значение .