Тема 36: Проверка гипотез о математических ожиданиях

1. Основная гипотеза имеет вид Тогда конкурирующей может являться гипотеза …

Решение:
Конкурирующей (альтернативной) называют гипотезу, которая противоречит основной гипотезе. Условию противоречит

 

2. Наблюдаемое значение критерия проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и может иметь вид …

Решение:
Для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и применяется статистический критерий который имеет стандартное нормальное распределение. Тогда наблюдаемое значение критерия определяется как где и – объемы независимых выборок, по которым вычислены выборочные средние и соответственно. Следовательно, например, при , получаем

 

3. Наблюдаемое значение критерия проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и может иметь вид …

Решение:
Для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями и применяется статистический критерий который имеет стандартное нормальное распределение. Тогда наблюдаемое значение критерия определяется как где и – объемы независимых выборок, по которым вычислены выборочные средние и соответственно. Следовательно, например, при , получаем

 

 

Кейс 1 подзадача 1

1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,19

0,81

0,01

0,18

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 4 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 4 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,4375

0,5625

0,0625

0,375

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 6 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 6 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

 

3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,36

0,64

0,04

0,32

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 5 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 5 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

 

4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Установите соответствие между случайными событиями и вероятностями этих событий.
1. Курс ценной бумаги упадет
2. Курс ценной бумаги вырастет
3. Курс ценной бумаги не изменится

0,64

0,36

0,16

0,24

Решение:
Пусть событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели вырастет на 2 % до руб., а событие заключается в том, что стоимость ценной бумаги в течение недели упадет на 2 % до руб. Следовательно,
1) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели упадет, определяется как вероятность события то есть равна так как
2) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели вырастет, определяется как вероятность события то есть равна
3) вероятность того, что курс ценной бумаги за две недели не изменится, равна нулю, так как соответствующее событие является невозможным.

 

Кейс 1 подзадача 2

1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1081,5; 1082,5)

(1081,0; 1082,0)

(1080,5; 1081,5)

(1080,0; 1081,0)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1081,5; 1082,5) и (1081,0; 1082,0).

 

2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1123,5; 1127,5)

(1121,5; 1125,0)

(1118,5; 1122,5)

(1115,5; 1121,0)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1123,5; 1127,5) и (1121,5; 1125,0).

 

3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1101,0; 1103,4)

(1100,4; 1103,0)

(1099,9; 1102,4)

(1099,4; 1102,0)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы: (1101,0; 1103,4) и (1100,4; 1103,0).

 

4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Максимально возможный курс ценной бумаги будет принадлежать интервалам (в руб.) …

(1040,0; 1041,0)

(1039,5; 1040,5)

(1039,0; 1040,0)

(1038,5; 1039,5)

Решение:
Определим максимально возможный курс ценной бумаги как руб. Тогда из предложенных ответов правильными будут ответы:
(1040,0; 1041,0) и (1039,5; 1040,5).

 

Кейс 1 подзадача 3

1. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 4 % с вероятностью 0,9 или подешеветь на 4 % с вероятностью 0,1. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1065,024

1065,00

1064,976

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как

где а
Тогда

 

2. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 6 % с вероятностью 0,75 или подешеветь на 6 % с вероятностью 0,25. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1060,90

1060,00

1059,10

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как:

где а
Тогда

 

3. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 5 % с вероятностью 0,8 или подешеветь на 5 % с вероятностью 0,2. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1060,90

1050,00

1059,10

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как

где а
Тогда

 

4. Курсовая стоимость ценной бумаги равна 1000 рублей. Она может в течение недели подорожать на 2 % с вероятностью 0,6 или подешеветь на 2 % с вероятностью 0,4. Предполагается, что еженедельные изменения цен независимы. Прошло две недели.

Математическое ожидание курсовой стоимости ценой бумаги будет равно …

1008,016

1008,00

1007,944

1000,00

Решение:
Составим закон распределения вероятностей дискретной случайной величины – курсовой стоимости ценной бумаги, как

где а
Тогда

 

Кейс 2 подзадача 1

1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «средний», можно оценить как …

Решение:
Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «средний», можно оценить как

 

2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «крупный», можно оценить как …

Решение:
Вероятность того, что кредит краткосрочный, если он «крупный», можно оценить как

 

3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Вероятность того, что кредит долгосрочный, если он «мелкий», можно оценить как …

Решение:
Вероятность того, что кредит долгосрочный, если он «мелкий», можно оценить как

 

Кейс 2 подзадача 2

1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Выдан долгосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи.

1. «Крупный»
2. «Средний»
3. «Мелкий»

Решение:
1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он долгосрочный, можно оценить как
2. Вероятность того, что кредит «средний», если он долгосрочный, можно оценить как
3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он долгосрочный, можно оценить как

 

2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Выдан краткосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи.

1. «Крупный»
2. «Средний»
3. «Мелкий»

Решение:
1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он краткосрочный, можно оценить как
2. Вероятность того, что кредит «средний», если он краткосрочный, можно оценить как
3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он краткосрочный, можно оценить как

 

3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

Выдан краткосрочный кредит. Установите соответствие между видом кредита и вероятностью его выдачи.

1. «Крупный»
2. «Средний»
3. «Мелкий»

Решение:
1. Вероятность того, что кредит «крупный», если он краткосрочный, можно оценить как
2. Вероятность того, что кредит «средний», если он краткосрочный, можно оценить как
3. Вероятность того, что кредит «мелкий», если он краткосрочный, можно оценить как

 

Кейс 2 подзадача 3

1. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

В рассматриваемом периоде банк выдал 100 кредитов. Если средний размер кредита «Мелкий» был равен 100 тыс. руб., кредита «Средний» – 700 тыс. руб., кредита «Крупный» – 2 млн руб., то объем кредитного портфеля банка составит ____ млн руб.

Решение:
Объем кредитного портфеля банка составит:
млн руб.

 

2. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

В рассматриваемом периоде банк выдал 100 кредитов. Если средний размер кредита «Мелкий» был равен 100 тыс. руб., кредита «Средний» – 400 тыс. руб., кредита «Крупный» – 2 млн руб., то объем кредитного портфеля банка составит ____ млн руб.

Решение:
Объем кредитного портфеля банка составит:
тыс. руб., или 76 млн. руб.

 

3. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам (в % от общего числа кредитов): по величине и срокам.

В рассматриваемом периоде банк выдал 100 кредитов. Если средний размер кредита «Мелкий» был равен 100 тыс. руб., кредита «Средний» – 600 тыс. руб., кредита «Крупный» – 2 млн руб., то объем кредитного портфеля банка составит ____ млн руб.

Решение:
Объем кредитного портфеля банка составит:
тыс. руб., или 82 млн руб.

 

Кейс 3 подзадача 1

1. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,6. Каждый построенный дом окупает 80 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,288

0,432

0,216

0,6

0,36

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

2. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,9. Каждый построенный дом окупает 50 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,027

0,243

0,729

0,9

0,81

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

3. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,8. Каждый построенный дом окупает 60 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,096

0,384

0,512

0,8

0,64

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

4. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,7. Каждый построенный дом окупает 70 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Предположим, что собранных средств будет достаточно для строительства k домов. Установите соответствие между значениями k и вероятностями соответствующих случайных событий.

1. k = 1
2. k = 2
3. k = 3

0,189

0,441

0,343

0,7

0,49

Решение:
Пусть случайная величина – количество домов, построенных компанией. Воспользуемся формулой Бернулли где Тогда:
1)
2)
3)

 

Кейс 3 подзадача 2

1. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,6. Каждый построенный дом окупает 80 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Если обозначить через количество построенных компанией домов, то случайную величину S – прибыль компании (в млн руб.) – можно определить как …

Решение:
Так как каждый построенный дом окупает 80% всех затрат по проекту, а именно млн руб., то прибыль компании можно определить как

 

2. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,9. Каждый построенный дом окупает 50 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Если обозначить через количество построенных компанией домов, то случайную величину S – прибыль компании (в млн руб.) – можно определить как …

Решение:
Так как каждый построенный дом окупает 50% всех затрат по проекту, а именно млн руб., то прибыль компании можно определить как

 

3. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,8. Каждый построенный дом окупает 60 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Если обозначить через количество построенных компанией домов, то случайную величину S – прибыль компании (в млн руб.) – можно определить как …

Решение:
Так как каждый построенный дом окупает 60% всех затрат по проекту, а именно млн руб., то прибыль компании можно определить как

 

4. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,7. Каждый построенный дом окупает 70 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Если обозначить через количество построенных компанией домов, то случайную величину S – прибыль компании (в млн руб.) – можно определить как …

Решение:
Так как каждый построенный дом окупает 70% всех затрат по проекту, а именно млн руб., то прибыль компании можно определить как

 

Кейс 3 подзадача 3

1. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,6. Каждый построенный дом окупает 80 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Ожидаемая прибыль компании равна ____ млн руб.

Решение:
Составим закон распределения случайной величины S – прибыли компании:

Тогда ожидаемая прибыль компании равна
млн руб.

 

2. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,9. Каждый построенный дом окупает 50 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Ожидаемая прибыль компании равна ____ млн руб.

Решение:
Составим закон распределения случайной величины S – прибыли компании:

Тогда ожидаемая прибыль компании равна
млн руб.

3. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,8. Каждый построенный дом окупает 60 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Ожидаемая прибыль компании равна ____ млн руб.

Решение:
Составим закон распределения случайной величины S – прибыли компании:

Тогда ожидаемая прибыль компании равна
млн руб.

 

4. Компания рассматривает проект по строительству трех домов, по одному в разных районах города. Средства для строительства дают сами будущие жильцы. Вероятность набрать необходимые средства для постройки одного дома составляет 0,7. Каждый построенный дом окупает 70 % всех затрат компании по проекту, равных 500 млн руб.

Средняя ожидаемая прибыль компании равна ____ млн руб.

Решение:
Составим закон распределения случайной величины S – прибыли компании:

Тогда ожидаемая прибыль компании равна
млн руб.