Тема 7: Числовые характеристики дискретных случайных величин

1. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

Тогда ее среднее квадратическое отклонение равно …

0,80

0,64

2,60

14,16

Решение:
Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется как где дисперсию дискретной случайной величины можно вычислить по формуле Тогда а

 

2. Дискретная случайная величина X задана законом распределения вероятностей:
Тогда ее математическое ожидание равно …

Решение:
Математическое ожидание дискретной случайной величины вычисляется по формуле . Тогда

 

 

Тема 8: Биномиальный закон распределения вероятностей

1. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна 0,6. Тогда математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X – числа появлений события A в проведенных испытаниях – равны …

Решение:
Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей, поэтому а

2. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события A постоянна и равна . Тогда математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины X – числа появлений события A в проведенных испытаниях – равны …

Решение:
Случайная величина X подчиняется биномиальному закону распределения вероятностей, поэтому а

4. В среднем 80% студентов группы сдают зачет с первого раза. Тогда вероятность того, что из 6 человек, сдававших зачет, с первого раза сдадут ровно 4 студента, равна …

Решение:
Воспользуемся формулой Бернулли:
где
Тогда

Тема 9: Простейший поток событий. Распределение Пуассона

1. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час равно пяти. Тогда вероятность того, что за два часа поступит восемь заявок, можно вычислить как …

Решение:
Вероятность наступления событий простейшего потока за время определяется формулой Пуассона:
где – интенсивность потока.
Так как , , , то

 

3. Среднее число заявок, поступающих на предприятие бытового обслуживания за 1 час, равно трем. Тогда вероятность того, что за два часа поступит пять заявок, можно вычислить как …

Решение:
Вероятность наступления событий простейшего потока за время определяется формулой Пуассона:
где – интенсивность потока.
Так как , , , то

Тема 10: Вероятности состояний цепи Маркова

1. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид , а вектор начального распределения вероятностей – . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен …

Решение:
Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге можно вычислить последовательно как

 

2. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид а вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге равен …

Решение:
Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на третьем шаге можно вычислить как

 

3. Матрица вероятностей перехода однородной цепи Маркова имеет вид а вектор начального распределения вероятностей – . Тогда вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге равен …

Решение:
Вектор вероятностей состояний цепи Маркова на втором шаге можно вычислить последовательно как

 

Тема 11: Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

1. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда значение параметра равно …

Решение:
Так как то или Тогда
и

 

2. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Решение:
Воспользуемся формулой Тогда

 

3. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда значение параметра равно …

Решение:
Так как то или Тогда
и

 

4. Непрерывная случайная величина задана плотностью распределения вероятностей:

Тогда вероятность равна …

Решение:
Воспользуемся формулой Тогда