Теория вероятностей и математическая статистика

1. Понятие события. Пространство элементарных событий. Виды событий. Действия над событиями: сложение, умножение.

2. Относительная частота события, её свойства. Классическое и статистическое определение вероятности.

3. Определение условной вероятности. Понятие независимых событий. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

4. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Формула Пуассона.

5. Дискретная случайная величина: ряд распределения, функция распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: биномиальный и Пуассона. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и их свойства; среднее квадратическое отклонение.

6. Непрерывная случайная величина: функция распределения, плотность распределения, числовые характеристики, законы распределения (равномерный, показательный, нормальный) и их числовые характеристики.

7. Генеральная и выборочная совокупности. Распределение выборки: дискретные и интервальные статистические ряды. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Среднее арифметическое, выборочная дисперсия, их свойства.

8. Оценка параметров генерального распределения по выборке. Точечные оценки, их несмещённость, состоятельность. Интервальные оценки, доверительный интервал, построение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении (выборки большого объема).

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам специальностей экономических, гуманитарных и физической культуры, в третьем семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 4.

Таблица 4

 

Номер варианта	Контрольная работа № 5 Номера задач	Контрольная работа № 6 Номера задач
	151 161 171	241 251 261 271
	152 162 172	242 252 262 272
	153 163 173	243 253 263 273
	154 164 174	244 254 264 274
	155 165 175	245 255 265 275
	156 166 176	246 256 266 276
	157 167 177	247 257 267 277
	158 168 178	248 258 268 278
	159 169 179	249 259 269 279
	160 170 180	250 260 270 280

IV семестр

Для студентов всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных

и физической культуры

 

Программа

Элементы линейной алгебры

 

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

8. Системы дифференциальных уравнений, их решение методом исключения и методом собственных векторов. Понятие устойчивости решения системы. Исследование устойчивости с помощью собственных значений.

 

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Понятие события. Пространство элементарных событий. Виды событий. Действия над событиями: сложение, умножение.

2. Относительная частота события, её свойства. Классическое и статистическое определение вероятности.

3. Определение условной вероятности. Понятие независимых событий. Теорема умножения вероятностей для зависимых и независимых событий. Теорема сложения вероятностей для совместных и несовместных событий.

4. Повторные испытания. Формула Бернулли. Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа. Формула Пуассона.

5. Дискретная случайная величина: ряд распределения, функция распределения. Законы распределения дискретной случайной величины: биномиальный и Пуассона. Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия и их свойства; среднее квадратическое отклонение.

6. Непрерывная случайная величина: функция распределения, плотность распределения, числовые характеристики, законы распределения (равномерный, показательный, нормальный) и их числовые характеристики.

7. Генеральная и выборочная совокупности. Распределение выборки: дискретные и интервальные статистические ряды. Полигон и гистограмма. Эмпирическая функция распределения и её свойства. Среднее арифметическое, выборочная дисперсия, их свойства.

8. Оценка параметров генерального распределения по выборке. Точечные оценки, их несмещенность, состоятельность. Интервальные оценки, доверительный интервал, построение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известном среднем квадратическом отклонении (выборки большого объема).

 

 

Функции комплексной переменной

И операционное исчисление

Для студентов радиотехнических и электротехнических специальностей

1. Понятие функции комплексной переменной. Определение функций , , ; связь между этими функциями. Свойства функций , , . Гиперболические функции и их свойства. Логарифмическая функция и её свойства.

2. Предел, непрерывность, дифференцируемость функции комплексной переменной. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости (условия Коши-Римана). Производные основных элементарных функций. Аналитические функции и их свойства.

3. Интеграл от функции комплексной переменной, его свойства. Интегральная теорема Коши для односвязной и многосвязной областей.

4.Ряды Тейлора и Лорана. Изолированные особые точки функции и их классификация. Ряд Лорана в окрестности изолированной особой точки. Понятие вычета функции в особой точке и его вычисление. Применение вычетов к вычислению интеграла по замкнутому контуру.

5. Преобразование Лапласа. Основные свойства оригиналов и изображений. Изображение основных элементарных функций. Восстановление оригинала по его изображению. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам всех специальностей, кроме экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены в табл. 5.

Таблица 5

 

Номер варианта	Контрольная работа № 7 Номера задач	Контрольная работа № 8 Номера задач
	281 291 301 311 321 331	241 251 261 271
	282 292 302 312 322 332	242 252 262 272
	283 293 303 313 323 333	243 253 263 273
	284 294 304 314 324 334	244 254 264 274
	285 295 305 315 325 335	245 255 265 275
	286 296 306 316 326 336	246 256 266 276
	287 297 307 317 327 337	247 257 267 277
	288 298 308 318 328 338	248 258 268 278
	289 299 309 319 329 339	249 259 269 279
	290 300 310 320 330 340	250 260 270 280

 

*Номера задач в контрольной № 7 только для студентов радиотехнических

и электротехнических специальностей.

IV семестр

Для студентов специальностей экономических, гуманитарных

и физической культуры

Элементы линейной алгебры

 

1. Понятие матрицы. Частные виды матрицы. Понятие определителя квадратной матрицы. Свойства определителей.

2. Линейные операции над матрицами: сложение матриц, умножение матрицы на число. Умножение матриц. Понятие обратной матрицы, условие её существования. Решение матричных уравнений с квадратной невырожденной матрицей.

3. Система линейных уравнений: понятие её решения, матричная форма записи. Решение линейной системы с квадратной невырожденной матрицей по формулам Крамера. Решение линейной системы методом Гаусса. Однородная система линейных уравнений и ее решение. Применение метода Гаусса для отыскания обратной матрицы.

4. Понятие линейного пространства. Линейно зависимые и линейно независимые системы элементов (векторов). Понятие базиса и размерности линейного пространства. Координаты элемента (вектора) в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому; связь координат вектора в различных базисах.

5. Понятие линейного оператора (отображения). Матрица линейного оператора в фиксированном базисе. Изменение матрицы оператора при замене базиса.

6. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства и способ отыскания.

7. Понятие квадратичной формы. Приведение её к каноническому виду.

 

Линейное программирование

1. Экономико-математические модели. Задачи о рентабельности производства, о смесях, о раскрое материалов, о размещении заказа, об использовании мощностей. Транспортная задача.

2. Общая задача линейного программирования (ЗЛП): основные понятия. Различные формы записи ЗЛП. Приведение ЗЛП к каноническому виду.

3. Выпуклые множества точек: основные понятия. Выпуклые множества в мерном пространстве. Геометрическая интерпретация ЗЛП. Свойства решений ЗЛП.

4. Графическое решение ЗЛП: постановка и алгоритм графического метода решения ЗЛП.

5. Системы линейных уравнений: элементарные преобразования системы, метод Жордана-Гаусса и его алгоритм. Неотрицательное базисное решение. Операция однократного замещения.

6. Симплексный метод решения ЗЛП: геометрическая интерпретация, симплексные таблицы и их заполнение. Теоретическое обоснование симплексного метода: теоремы, лежащие в основе этого метода. Алгоритм симплексного метода. Метод искусственного базиса и особенности его алгоритма.

7. Теория двойственности. Задача использования сырья. Виды двойственных задач. Правила составления двойственных задач. Теоремы двойственности. Связь между решениями взаимно-двойственных задач.

8. Транспортная задача. Общая постановка задачи. Закрытая и открытая задачи. Обоснование решения транспортной задачи. Нахождения первоначального опорного плана: метод северо-западного угла, метод минимальной стоимости. Метод потенциалов. Критерий оптимальности решения транспортной задачи. Алгоритм метода потенциалов.

Номера контрольных работ, которые необходимо выполнить студентам специальностей экономических, гуманитарных и физической культуры, в четвёртом семестре, и номера задач соответствующих вариантов представлены

в табл. 6.

 

 

Таблица 6

 

Номер варианта	Контрольная работа № 7 Номера задач	Контрольная работа № 8 Номера задач
	281 291 301	341 351 361 371
	282 292 302	342 352 362 372
	283 293 303	343 353 363 373
	284 294 304	344 354 364 374
	285 295 305	345 355 365 375
	286 296 306	346 356 366 376
	287 297 307	347 357 367 377
	288 298 308	348 358 368 378
	289 299 309	349 359 369 379
	290 300 310	350 360 370 380

Контрольные задания

1–10. Даны координаты вершин пирамиды А ₁ А ₂ А ₃ А ₄. Найти: 1) уравнение прямой, на которой лежит ребро А ₁ А ₂; 2) уравнение плоскости, на которой лежит грань А ₁ А ₂ А ₃; 3) угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃; 4) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃; 5) объём пирамиды.

1. А ₁(7, 7, 6), А ₂(5, 10, 6), А ₃(5, 7, 12), А ₄(7, 10, 4).

2. А ₁(6, 1, 1), А ₂(4, 6, 6), А ₃(4, 2, 0), А ₄(1, 2, 6).

3. А ₁(8, 7, 5), А ₂(10, 6, 6), А ₃(5, 7, 9), А ₄(8, 11, 8).

4. А ₁(7, 7, 3), А ₂(6, 5, 8), А ₃(3, 5, 8), А ₄(8, 4, 1).

5. А ₁(4, 2, 5), А ₂(0, 7, 2), А ₃(0, 2, 7), А ₄(1, 5, 0).

6. А ₁(4, 4, 10), А ₂(4, 10, 2), А ₃(2, 8, 4), А ₄(9, 8, 9).

7. А ₁(4, 6, 5), А ₂(6, 9, 4), А ₃(2, 10, 10), А ₄(7, 5, 9).

8. А ₁(3, 5, 4), А ₂(8, 7, 4), А ₃(5, 10, 4), А ₄(4, 7, 8).

9. А ₁(10, 6, 6), А ₂(-2, 8, 2), А ₃(6, 8, 9), А ₄(7, 10, 3).

10. А ₁(2, 9, 3), А ₂(6, 3, 7), А ₃(6, 8, 5), А ₄(5, 11, 10).

11–20. Установить, какие линии определяются данными уравнениями. Изобразить линии на чертеже.

11. а) , б) .

12. а) , б) .

13. а) , б) .

14. а) , б) .

15. а) , б) .

16. а) , б) .

17. а) , б) .

18. а) , б) .

19. а) , б) .

20. а) , б) .

21–30. 1) Записать число в алгебраической форме; 2) изобразить его на координатной плоскости; 3) записать число в тригонометрической и показательной формах; 4) вычислить ; 5) найти все корни уравнения .

21. . 22. .

23. . 24. .

25. . 26. .

27. . 28. .

29. . 30. .

31–40. Найти пределы, используя замечательные пределы и эквивалентные бесконечно малые функции.

31. а) , б) . 32. а) , б) .

33. а) , б) . 34. а) , б) .

35. а) , б) . 36.а) ,б) .

37. а) , б) . 38. а) , б) .

39. а) , б) . 40. а) , б) .

41–50. Дано уравнение кривой, точка и уравнение прямой . Требуется: 1) составить уравнения касательной и нормали к данной кривой в точке с абсциссой ; 2) найти точку на кривой , в которой касательная параллельна прямой .

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51–60. Найти производные данных функций.

51. а) , б)

52. а) , б) .

53. а) , б) .

54. а) , б) .

55. а) , б) .

56. а) , б) .

57. а) , б) .

58. а) , б) .

59. а) , б) .

60. а) , б) .

61–70. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

61. а) б)

62. а) б)

63. а) б)

64. а) б)

65. а) б)

66. а) б)

67. а) б)

68. а) б)

69. а) б)

70. а) б)

71–80. Исследовать функции с помощью производных первого и второго порядков. Найти асимптоты. Построить графики функций.

71. а) , б) . 72. а) , б) .

73. а) , б) . 74. а) , б) .

75. а) , б) . 76. а) , б) .

77. а) , б) . 78. а) , б) .

79. а) , б) . 80. а) , б) .

81–90. Найти неопределённые интегралы.

81. а) , б) , в) , г) .

82. а) , б) , в) , г) .

83. а) , б) , в) , г) .

84. а) , б) , в) , г) .

85. а) , б) , в) , г) .

86. а) , б) , в) , г) .

87. а) , б) , в) , г) .

88. а) , б) , в) , г) .

89. а) , б) , в) , г) .

90. а) , б) , в) , г) .

91–100. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

91. . 92. . 93. . 94. . 95. . 96. . 97. . 98. . 99. . 100. .

101–110. Найти общие решения дифференциальных уравнений.

101. а) , б) . 102. а) , б) .

103. а) , б) . 104. а) , б) .

105. а) , б) . 106. а) , б) .

107. а) , б) . 108. а) , б) .

109. а) , б) . 110. а) , б) .

111–120. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения.

111. . 112. .

113. . 114. .

115. . 116. .

117. . 118. .

119. . 120. .

121–130. Исследовать сходимость числового ряда.

121. . 122. . 123. . 124. .

125. . 126. . 127. . 128. .

129. . 130. .

131–140. Найти область сходимости степенного ряда.

131. . 132. . 133. . 134. .

135. . 136. . 137. . 138. .

139. . 140.

141–150. Вычислить определённый интеграл с точностью до 0,001, используя разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена.

141. . 142. . 143. . 144. .

145. . 146. . 147. . 148. .

149. . 150. .

151–160. Найти точки экстремума функции .

151. . 152. .

153. . 154. .

155. . 156. .

157. . 158. .

159. . 160. .

161–170. Найти наименьшее m и наибольшее M значения функции в замкнутой области D, заданной системой неравенств. Сделать чертёж

области D.

161. , .

162. , .

163. , .

164. , .

165. , .

166. , .

167. , .

168. , .

169. , .

170. , .

171–180. Даны функция , точка и вектор . Найти: 1) наибольшую скорость возрастания функции в точке А; 2) скорость изменения функции в точке А по направлению вектора .

171. , А (1, 1), .

172. , А (1, 1), .

173. , А (2, 1), .

174. , А (1, 1), .

175. , А (-1, 2), .

176. , А (1, 3), .

177. , А (1, 2), .

178. , А (2, 3), .

179. , А (1, 1), .

180. , А (2, 1), .

181–190. Задана пластина неравенствами в декартовой системе координат и – плотностью материала, из которого изготовлена пластина. Найти массу пластины.

181. , ; . 182. , ; .

183. ; . 184. , ; .

185. ; . 186. , ; .

187. , ; . 188. ; .

189. ; . 190. ; .

191–200. Вычислить с помощью тройного интеграла объём тела, ограниченного указанными поверхностями. Сделать чертежи данного тела и его проекции на координатную плоскость ХОУ.

191.