Метод Крамера для решения систем линейных уравнений

 

Теорема Крамера. Система n линейных уравнений с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение и притом единственное. Это решение может быть найдено по формулам

, где - определитель системы

 

, , …,

Пример. Решить систему уравнений методом Крамера:

D = = 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;

D₁ = = (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.

D₂ = = 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.

D₃ = = 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.

x ₁ = = 1; x ₂ = = 2; x ₃ = = 3.

 

 

Практическое занятие №4

Наименование занятия: Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Цель занятия: Научиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Системы линейных уравнений»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Решить системы линейных уравнений методом Гаусса

1)

 

2)

 

4)

 

5)

 

3)

 

6)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Какие преобразования систем линейных уравнений являются эквивалентными?
2. Опишите алгоритм решения системы линейных уравнений методом Гаусса.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Рассмотрим произвольную систему линейных уравнений. Система m уравнений с n неизвестными в общем виде записывается следующим образом:

,

где a_ij – коэффициенты, а b_i – постоянные. Решением системы являются n чисел, которые при подстановке в систему превращают каждое ее уравнение в тождество.

Для этой системы линейных уравнений вида матрица

 

А = называется матрицей системы, а матрица

 

А^*= называется расширенной матрицей системы

Метод Гаусса

Суть метода заключается в том, что систему уравнений с помощью элементарных преобразований приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей (системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают). Эти действия называются прямым ходом. Затем из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход).

Элементарными преобразованиями систем являются:

1) Умножение или деление коэффициентов и свободных членов на одно и то же число

2) Сложение и вычитание уравнений

3) Перестановка уравнений системы местами.

4) Исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю

Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

Составим расширенную матрицу системы.

А* = .

Выполним над этой матрицей следующие преобразования:

1) поменяем местами 1 и 2 строки;

2) прибавим к элементам 2 строки 1-ю строку, умноженную на -2;

3) прибавим к элементам 3 строки 1-ю строку, умноженную на -7;

4) прибавим к элементам 3 строки 2-ю строку, умноженную на -3;

А* =

Получили систему с треугольной матрицей. Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:

, откуда получаем: x ₃ = 2; x ₂ = 5; x ₁ = 1.

 

Практическое занятие №5

Наименование занятия: Операции над векторами

Цель занятия: Научиться выполнять действия с векторами

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Векторы. Операции над векторами»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Даны векторы и . Построить векторы , .
2. Найти координаты векторов , , , если А (2; 3), В (-1; -3), С (-7; 5).
3. Даны векторы = (-2; 4) и = (3; 1). Найти: , , , .
4. Найти длину вектора , если А (5; 2), В (8; -2).
5. Дан треугольник с вершинами А (7; 7), В (4; 3), С (3; 4). Найти его периметр.
6. Отрезок АВ задан точками А (2; 3), В (10; 11). Найти координаты точки С, если известно, что .
7. Найти длину медианы АМ треугольника с вершинами А (7; -4), В (-1; 8), С (-12; -1).
8. Найти скалярное произведение векторов = (5; 7) и = (4; 3).
9. Найти угол между векторами = (4; 0) и = (2; -2).
10. Найти углы треугольника с вершинами А (6; 7), В (3; 3), С (1; -5).

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется вектором? Длиной вектора?
2. Как сложить два вектора?
3. Как найти разность двух векторов?
4. Как умножить вектор на число?
5. Как найти координаты вектора, заданного двумя точками?
6. Как найти длину вектора, заданного двумя точками?
7. Как найти длину вектора, заданного своими координатами?
8. Как вычисляется скалярное произведение векторов, заданных своими координатами?
9. Как найти угол между векторами?

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Вектором называется направленный отрезок (упорядоченная пара точек). К векторам относится также и нулевойвектор – это вектор, начало и конец которого совпадают.

Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.

Действия над векторами

1. Суммой двух векторов называется вектор , удовлетворяющий условию: если начало вектора перенести в точку, являющуюся концом вектора , начало вектора совпадет с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило треугольника).

2. Произведением вектора на число a называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) ;

2) вектор коллинеарен вектору ;

3) вектор соноправлен с вектором ( ­­ ), если a > 0 и противоположно направлен ( ­¯ ), если a < 0.

Координаты вектора

Пусть точки А(х ₁, y ₁) и B(x ₂, y ₂), заданы в прямоугольной декартовой системе координат. Чтобы найти координаты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала т.е. = (x ₂ – x ₁, y ₂ – y ₁).