Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность вида .

Пример. Вычислить предел

При подстановке вместо переменной х числа - 2 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х+ 2. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа -2 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

Пример. Вычислить предел

При подстановке х =0 получается неопределенность вида .

Умножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное числителю выражение:

= .

 

II. Неопределенность вида .

Для раскрытия этой неопределенности нужно каждое слагаемое числителя и знаменателя разделить на переменную в наибольшей степени и учитывая, что величина обратная бесконечно большой величине есть бесконечно малая величина, раскроем исходную неопределенность.

Пример. Вычислить предел

Здесь числитель и знаменатель не имеют предела, т.к. оба неограниченно возрастают. В этом случае имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия разделим каждое слагаемое на переменную в наибольшей степени, т.е. на х ⁴. Получим:

 

= =

Величины являются бесконечно малыми при и их пределы равны нулю. Следовательно, искомый предел равен .

 

Пример. Вычислить предел

Имеем неопределенность вида . Разделим числитель и знаменатель на х ². Получим:

 

Замечательные пределы

Первый замечательный предел:

Следствия: 1) ; 2) ; 3) .

Второй замечательный предел:

Следствие:

Третий замечательный предел:

Четвертый замечательный предел: при , .

Часто если непосредственное нахождение предела какой – либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Пример. Вычислить предел

Сравнение бесконечно малых функций

Пусть a(х) и b(х) бесконечно малые функции при х ® А. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т.е. по быстроте их стремления к нулю.

Например, функция f(x) = x ¹⁰ стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x.

Бесконечно малые функции a(х) и b(х) при х ® А называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Записывают a(х) ~ b(х).

При х ®0 эквивалентными бесконечно малыми являются следующие функции:

1. sin x ~ х;

2. tg x ~ x;

3. ln(1+ x) ~ x;

4. e^x – 1 ~ x;

5. 1 – cos x ~ ;

6. a^x – 1 ~ x ln a;

7. (1 + x) ^a – 1 ~ ax;

8. arcsin x ~ x;

9. arctg x ~ x.

 

Пример. Найти предел

Так как tg5 x ~ 5 x и sin7 x ~ 7 x при х® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим:

Пример. Найти предел .

Так как 1 – cos x = при х ®0, то .

Практическое занятие №11

Наименование занятия: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва.

Цель занятия: Научиться вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва, определять их тип.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Теория пределов. Непрерывность»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

1. Вычислить односторонние пределы:

1)

2)

 

2. Вычислить односторонние пределы при следующих функций:

1)

2)

 

3. Функция определена следующим образом:

у = 0 при х < 0;

у = х при 0 ≤ х < 1;

у = - х² + 4 х -2 при 1 ≤ х < 3;

у = 4 – х при x > 3.

Будет ли эта функция непрерывной? Построить график.

 

4. Найти точки разрыва функций и определить их тип:

1)

2)

3)

4)

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется односторонним пределом функции?
2. Как исследовать функцию на непрерывность?
3. Как определить тип разрыва?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

Если f(x) ® b при х ® а только при x < a, то - называется левым пределом функции f(x) в точке х = а, а если f(x) ® b при х ® а только при x > a, то называется правым пределом функции f(x) в точке х = а.

Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки. Пределы b ₁ и b ₂ называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х=а.

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если предел функции и ее значение в этой точке равны, т.е.

Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х ₀, но не является непрерывной в самой точке х ₀, то она называется разрывной функцией, а точка х ₀ – точкой разрыва функции.