Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

 

Теорема Лопиталя. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в окрестности точки а, непрерывны в точке а, g¢(x) отлична от нуля в окрестности точки а и f(a) = g(a) = 0, то предел отношения функций при х®а равен пределу отношения их производных, если этот предел (конечный или бесконечный) существует.

Замечание. Теорема остается в силе и в том случае, когда в точке x = a функции j (x) и y (x) обращаются в бесконечность.

Правило Лопиталя. Для раскрытия неопределенностей и надо заменить предел отношения двух функций пределом отношения их производных. Если окажется, что отношение производных имеет конечный предел, то к этому же пределу стремится и отношение данных функций.

Пример: Найти предел .

При попытке непосредственного вычисления предела получается неопределенность вида . Функции, входящие в числитель и знаменатель дроби удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя: f¢(x) = 2 x + ; g¢(x) = e^x. Тогда = .

 

Если при решении примера после применения правила Лопиталя попытка вычислить предел опять приводит к неопределенности, то правило Лопиталя может быть применено второй раз, третий и т.д. пока не будет получен результат. Естественно, это возможно только в том случае, если вновь полученные функции в свою очередь удовлетворяют требованиям теоремы Лопиталя.

Пример: Найти предел .

При подстановке х = 0 получается неопределенность вида . Применим правило Лопиталя. Найдем производные числителя и знаменателя: ; и подставим их в предел: - опять получилась неопределенность. Применим правило Лопиталя еще раз. ; ;

- применяем правило Лопиталя еще раз.

; ; .

 

 

Для раскрытия других неопределенностей , , , их следует предварительно преобразовать к неопределенности вида или .

Пример

Неопределенности вида можно раскрыть с помощью логарифмирования. Такие неопределенности встречаются при нахождении пределов функций вида , f(x)> 0 в окрестности точки а при х® а. Для нахождения предела такой функции достаточно найти предел функции ln y = g(x) ln f(x).

 

Пример: Найти предел .

Здесь y = x^x, ln y = x ln x.

Тогда .

Следовательно

 

 

Практическое занятие №15

Наименование занятия: Нахождение точек перегиба и направлений выпуклости, асимптот графика функции

Цель занятия: Научиться исследовать функции на выпуклость, вогнутость, находить асимптоты графика функции

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Исследовать функции на выпуклость, вогнутость. Найти точки перегиба.

1)

2)

3)

4)

5)

 

2. Найти асимптоты графиков функций:

1)

2)

3)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Дайте определение выпуклой, вогнутой функции.
2. Как исследовать функцию выпуклость, вогнутость?
3. Что называется асимптотами графика функции?
4. Какие виды асимптот вы знаете? Как они находятся?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

График функции f(x) называется выпуклым на интервале (a; b), если он расположен ниже касательной, проведенной к любой его точке. График функции f(x) называется вогнутым на интервале (a; b), если он расположен выше касательной, проведенной к любой его точке.

Теорема (достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функции). Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и она положительна, то функция вогнута на этом интервале. Если же f′′(x) отрицательна на интервале (a; b), то функция выпукла на этом интервале.

Точка графика функции при переходе через которую кривая меняет направление выпуклости, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба) Если функция y = f(x) имеет на интервале (a; b) вторую производную f′′(x) и при переходе через точку х = x₀ f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = x₀ является точкой перегиба.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции.

Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.

Различают три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные и наклонные.

Вертикальные асимптоты. Если , , или , то прямая х = а является вертикальной асимптотой кривой y = f(x). Вертикальные асимптоты обычно сопровождают точки разрыва второго рода и если функция непрерывна, то вертикальных асимптот нет.

Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.

Наклонные асимптоты. Наклонная асимптота задается уравнением y = kx + b. Для точного определения этой прямой необходимо найти коэффициенты k и b. Они находятся следующим образом: ,

Горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.

Пример. Найти асимптоты функции .

Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой, т.к. в этих точках функция имеет разрыв 2-го рода.

Найдем наклонные асимптоты: , следовательно, наклонной асимптоты функция не имеет. Найдем , т.е. y = 0 – горизонтальная асимптота.

 

Практическое занятие №16

Наименование занятия: Полное исследование функций. Построение графиков.

Цель занятия: Научиться исследовать функции и по результатам исследования строить графики.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Исследовать функции по общей схеме и построить графики.

 

1)

2)

3)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Как найти область определения функции?
2. Как исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность?
3. Как найти точки пресечения графика функции с осями координат?
4. Как исследовать функцию на монотонность, экстремумы, выпуклость вогнутость, точки перегиба?

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Схема исследования функций

 

1. Найти область определения функции и определить точки разрыва, если они имеются.

2. Установить, является функция четной или нечетной или ни той ни другой. Если функция четна или нечетна, то достаточно рассмотреть ее значения при x>0, а затем симметрично относительно оси OY или начала координат восстановить ее и для значений x<0.

3. Исследовать функцию на периодичность. Если функция периодическая, то достаточно рассмотреть ее на одном периоде.

4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно)

5. Провести исследование функции на экстремум и найти интервалы возрастания и убывания функции.

6. Найти точки перегиба кривой и интервалы выпуклости, вогнутости функции.

7. Найти асимптоты графика функции.

8. Пользуясь результатами шагов 1-7, строят график функции. Иногда для большей точности находят несколько дополнительных точек; их координаты вычисляют, пользуясь уравнением кривой.

Пример. Исследовать функцию и построить ее график.

1) Областью определения функции являются промежутки (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Областью значенийданной функции является интервал (-¥; ¥).

Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.

2) Функция является нечетной, т.к. .

3) Функция не периодическая.

4) График пересекает оси координат в точке (0; 0).

5) Находим критические точки.

Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.

Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.

-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает

- < x < -1, y ¢ < 0, функция убывает

-1 < x < 0, y ¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y ¢ < 0, функция убывает

1 < x < , y ¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y ¢ > 0, функция возрастает

 

Видно, что точка х = - является точкой максимума, а точка х = является точкой минимума. Значения функции в этих точках равны соответственно 3 /2 и -3 /2.

 

6) Найдем вторую производную функции

.

Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.

-¥ < x < - , y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

- < x < -1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

-1 < x < 0, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

0 < x < 1, y ¢¢ < 0, кривая выпуклая

1 < x < , y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

< x < ¥, y ¢¢ > 0, кривая вогнутая

 

7) Найдем асимптоты кривой. Прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами, т.к. в них односторонние пределы равны бесконечности. Теперь найдем наклонные асимптоты.

Уравнение наклонной асимптоты: y = x.

 

8) Построим график функции по результатам исследования.