Табличные значения производных основных функций

1. (uⁿ)' = n × u^n-1 × u' (n Î R)

2. (a^u)' = a^u × lna× u'

3. (e^u)' = e^u × u'

4.(log _a u)' = × u'

5. (ln u)' = × u '

6. (sin u)' = cos u × u'

7. (cos u)' = - sin u× u'

8. (tg u)' = × u'

9. (ctg u)' = - × u'

10. (arcsin u)' = × u'

11. (arccos u)' = - × u'

12. (arctg u)' = × u'

13. (arcctg u)' = - × u'

Пример. Вычислить производную функции: у =

Для нахождения данной производной сначала преобразуем заданную функцию: у = . Далее воспользуемся 1 табличным значением:

у ′ = = =

Пример. Вычислить производную функции: у =

Данная производная вычисляется по 4 правилу дифференцирования (u =2 x ²+3, v =7 x ²+2):

у′ = = =

= = -

Пример. Найти производную функции у = е ^{3-4 х}

Данная функция является сложной. Обозначим u = 3 - 4 х, тогда у = е^u. Далее воспользовавшись 3 табличным значением производной, получим:

у ′ = (e^u)' = e^u × u' = е ^{3-4 х} ∙ (3 - 4 х)′ = е ^{3-4 х} ∙ (-4) = - 4 е ^{3-4 х}

 

Пример. Вычислить производную функции: у = (5 х ²+3 х -7)⁶

Данная функция является сложной. Обозначим u = 5 х ²+3 х -7, получим функцию у = u⁶, для нахождения производной которой воспользуемся 1 табличным значением:

у ′ = 6 u ⁵ = 6∙(5 х ²+3 х -7)⁵ ∙ (5 х ²+3 х -7)′ = 6∙(5 х ²+3 х -7)⁵ ∙ (10 x +3)

 

Практическое занятие №13

Наименование занятия: Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Цель занятия: Научиться находить дифференциал функции, вычислять приближенные значения функции, приращения функции с помощью дифференциала

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.
2. Дадаян А.А. «Математика», 2004г.

Задание на занятие:

1. Найти дифференциалы следующих функций:

1)

2)

3)

4)

5) в точке х = 1.

2. Найти приближенное значение приращения функции при изменении аргумента от х = 3 до х = 3,1

3. На сколько приближенно изменится значение степени 2⁵, если основание увеличится на 0,003?

4. Сторона квадратного листа жести, равная 15 см, после нагревания увеличилась на 0,001 см. Вычислите приближенно, на сколько изменилась площадь этого листа.

1. Найти приближенное значение функции:

1) в точке х = 1,96

2) в точке х =3,012

1. Вычислить приближенные значения:

1) (1,025)¹⁰

2)

3) е ^-0,005

4) 2^2,98

5)

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется дифференциалом функции? Как найти дифференциал функции?
2. Как с помощью дифференциала вычислить приближенное значение функции, приращения функции?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Дифференциалом функции f(x) в точке х ₀ называется линейная относительно D x функция , составляющая главную часть приращения функции в точке х ₀. Обозначается df (х ₀) или dy. Вычисляется по формуле: dy = f¢(x)dx.

 

Пример. Найти дифференциал функции .

Сначала преобразуем данную функцию: , найдем производную

Тогда дифференциал будет равен

 

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

1. Вычисление приближенного значения приращения функции:

 

Пример. Пользуясь понятием дифференциала функции, вычислить приближенно изменение функции при изменении аргумента от 5 до 5,01.

Найдем дифференциал функции . Подставим значения х ₀ = 5, D х = 0,01. Получим

 

2. Вычисление приближенного значения функции:

Пример. Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала 1,998⁵.

Рассмотрим функцию , где х = 1,998. Разобьем х на х ₀ и D х (х = х ₀ + D х), пусть х ₀ = 2, тогда D х = - 0,002.

Найдем значение , ,

Тогда 1,998⁵» 32 – 0,16 = 31, 84.

 

 

Практическое занятие №14

Наименование занятия: Нахождение производных высших по­рядков. Правила Лопиталя.

Цель занятия: Научиться находить производные высших порядков, применять правило Лопиталя к вычислению пределов.

Подготовка к занятию: Повторить теоретический материал по теме «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной»

Литература:

1. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А. «Элементы высшей математики», 2008г.

Задание на занятие:

 

1. Найти производные 2-го следующих функций.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

2. Дана функция . Найти , , .

3. Вычислить производные 3-го порядка следующих функций.

1) ;

2)

4. Дана функция . Найти , , .

 

3. Вычислить пределы, используя правило Лопиталя.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

 

Порядок проведения занятия:

1. Получить допуск к работе
2. Выполнить задания
3. Ответить на контрольные вопросы.

Содержание отчета:

1. Наименование, цель занятия, задание;
2. Выполненное задание;
3. Ответы на контрольные вопросы.

Контрольные вопросы для зачета:

1. Что называется производной второго порядка? п -го порядка?
2. Сформулируйте правило Лопиталя.

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Производные высших порядков

Пусть функция f(x)- дифференцируема на некотором интервале. Тогда, дифференцируя ее, получаем первую производную

Если найти производную функции f¢(x), получим вторую производную функции f(x):

, т.е. y¢¢ = (y¢)¢ или .

Этот процесс можно продолжить и далее, находя производные степени n: .