III. Методы раскрытия неопределенностей

 

При решении заданий на вычисление предела функции одной переменной встречаются различные виды неопределенностей. А именно: неопределенность вида , , , , .

Различные виды неопределенностей имеют свои методы раскрытия.

3.1. Неопределенность вида

Разложение числителя и знаменателя на множители с последующим сокращением

Примеры:

1. Найти

Решение:

При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.

Для квадратного трёхчлена

Где

Для 3x²+x-4 получим:

Для получим:

Тогда

Ответ: -7

2. Найти

Решение:

При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.

Для квадратного трёхчлена:

где

Для получим:

Числитель разложим на множители следующим образом:

Тогда

Ответ:

3. Найти

Решение:

При непосредственной подстановке предельного значения x=3 числитель и знаменатель обращаются в нуль

Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости разложим числитель и знаменатель на множители, и сократим дробь на общий множитель.

Для квадратного трёхчлена

где

Для получим:

Знаменатель разложим по формуле

Для получим:

Тогда

Ответ:

 

Деление многочлена на многочлен

1. Найти

Решение:

= = -неопределенность, для раскрытия требуется дробь сократить.

Так как x=1 – корень многочленов, то многочлены кратны одночлену (x – 1):

x³+x²-2x x-1 3x³-3 x-1

-(x³-x²) x²+2x -(3x³-3x²) 3x²+3x+3

2x²-2x 3x²-3

-(2x²-2x) -(3x²-3x)

0 3x-3

-(3x-3)

Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь:

Вычислим предел:

.

Ответ:

Устранение иррациональных разностей домножением на сопряженное выражение

Примеры:

1. Найти

Решение:

При непосредственной подстановке предельного значения x=0 числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Используя формулу для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель на сопряжённый двучлен ,

А затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.

Ответ:

2. Найти

Решение:

При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Используя формулу для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель на сопряжённый двучлен и , а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь

Ответ:

3. Найти

Решение:

При непосредственной подстановке предельного значения x=0 числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости домножим числитель и знаменатель соответственно на сопряжённые двучлены и , а затем при наличии общего множителя сократим на него дробь.

Ответ:

Замена переменной

Пример:

Найти

Решение:

При непосредственной подстановке предельного значения x=1 числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Для раскрытия неопределённости избавимся от иррациональности сделав замену (x=t³). Тогда при .

Затем после преобразований сократим дробь на общий множитель.

Ответ: 4

Первый замечательный предел

Примеры:

1. Найти

Решение:

При числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:

Ответ:

2. Найти

Решение:

При числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:

Ответ:

3. Найти

Решение:

При числитель и знаменатель обращаются в нуль.

Имеем неопределённость вида . Раскроем неопределённость с помощью 1-го замечательного предела после следующих преобразований:

Ответ:

Правило Лопиталя

Найти

Решение:

Ответ: 1

3.2. Неопределенность вида