Необходимый признак возрастания (убывания).



Мы поможем в написании ваших работ!


Мы поможем в написании ваших работ!



Мы поможем в написании ваших работ!


ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Необходимый признак возрастания (убывания).



Если дифференцируемая интервале функция f(х) возрастает (убывает), то ( ) для всех .

Достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Если функция у =f(х) дифференцируема на интервале и для всех (при этом может быть равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция возрастает на ; а если (или равна 0 в отдельных точках промежутка ), то функция убывает на этом интервале. Если для всех , то f(х)=const на этом интервале.

Экстремумы функции

Пусть функция у = f(х) определена на отрезке [а;b]. Говорят, что функция
у = f(х) имеет локальный максимумв точке х0 є [а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b ] и такая, что для любого х, при­надлежащего этой окрестности, выполняется неравенство f(х) < f(х0).

Под окрестностью точких0 понимают интервал длины 2e с центром в точке х0, т.е. 0-e, х0+e), где e - произвольное по­ложительное число

Говорят, что функция у = f(х) имеет локальный минимумв точке х0 є[а;b], если существует окрестность точки х0, целиком содержащаяся в [а;b] и такая, что для любого х, принадлежаще­го этой окрестности, выполняется неравенство f(х) > f(х0).

Достаточный признак экстремума функции.

Критическая точка (внутренняя точка области определения функции, в которой производная этой функции равна нулю или не существует) является точкой экстремума функции, если в окрестности этой точки производная меняет знак, причем точкой максимума, если производная меняет знак с «+» на «-», и точкой минимума, если производная меняет знак с «-» на «+».

Наибольшее (наименьшее) значениенепрерывной функции у = f(х) на отрезке [а;b]достигается либо в одной из критических точек, либо в одной из граничных точек данного отрезка.

Выпуклость функции

Говорят, что функция у = f(х) выпукла вверх в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции в точке М0(х0, у0) лежит выше графика (рис. 4а). Говорят, что функция
у = f(х)выпукла вниз в точке х0, если существует окрестность точки х0 такая, что для всех ее точек х касательная к графику функции а точке М00; у0) лежит ниже графика (рис. 4б).

Если на некотором промежутке (а;b) все касательные к гра­фику функции
у = f(х) лежат выше (соответственно ниже) самого графика, то на данном промежутке функция выпукла вверх (со­ответственно выпукла вниз).

Рис. 4. Графики выпуклой функции

Отыскание интервалов выпуклости и точек перегиба

Достаточное условие выпуклости функции на интервале.

Если вторая производная f"(х) существует на интервале (а, b) и не меняет знак на этом интервале, то:

1) при f"(х) > 0 (знак + ) функция f(х) выпукла вниз на интервале (а;b);

2) при f"(х) <0 (знак - ) функция f(х) выпукла вверх на интервале (а;b).

Таким образом, для нахождения интервалов выпуклости вверх и выпуклости вниз функции нужно найти вторую произ­водную и решить неравенства
f"(х) < 0 и f"(х) > 0.

Точка М00; f(х0)) графика функции у = f(х) называется точкой перегибаэтого графика, если существует такая окрестность точки х0, в пределах которой график функции у = f(х) слева и справа от т. М0 имеет разные направления вы­пуклости.

На рис. 5 изображен график функции, имеющей перегиб в точке М00; f0)).

Рис. 5. График функции, имеющей перегиб

 

Необходимый признак существования точки перегиба.

Если функция в точке х0 имеет перегиб, то вторая производная в этой точке либо не существует, либо равна нулю.

Точки, в которых вторая производная обращается в нуль или не существует, называют критическими точками II-го рода. В этих точках перегиб может быть, а может и не быть. Этот вопрос ре­шается с помощью следующего признака.

Достаточный признак существования точки перегиба.

Пусть функция определена и непрерывна в некоторой окрестности точки х0, включая саму точку. Пусть, далее, вторая производ­ная в этой точке равна нулю или не существует. Тогда, если f"(х) < 0 при х <х0 и f"(х) > 0 при х > х0 или f"(х) > 0 при х < х0 и f"(х) < 0 при х > х0, то М00, (f(х0)) является точкой перегиба кривой у = f(х).

 


II. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Понятие предела функции

Число А называется пределом функции в точке х0 (или при х х0), если для любого положительного числа найдется такое положительное число , что для всех х х0, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Обозначают



Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.230.144.31 (0.01 с.)