В линейных, параметрических и нелинейных ФУ

Линейные преобразования сигналов и ФУ

Линейные ФУ по определению описываются линейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей) с постоянными коэффициентами. С точки зрения схемотехники это значит, что все элементы ФУ (R, C, L) имеют постоянные параметры. Оператором преобразования воздействия x (t) в реакцию y (t) для них может служить одна из форм интеграла наложения (Дюамеля) во временной области

,

или передаточная функция Н ФУ в частотной области

,

а в качестве функциональной характеристики линейного ФУ можно использовать его импульсную характеристику или передаточную функцию Н .

Простым колебанием для линейных цепей является гармоническое . Его форма не изменяется при прохождении через любую линейную цепь. В линейных цепях действует принцип суперпозиции – реакция цепи на сумму воздействий есть сумма её реакций на каждое из воздействий в отдельности. Из этих свойств вытекают следующие выводы:

1. Форма сложного сигнала (с полигармоническим или сплошным спектром) при его прохождении через линейную цепь может изменяться только вследствие изменения соотношения между амплитудами и фазами спектральных составляющих воздействия. Принципиально важно, что в реакции линейного ФУ не могут возникнуть спектральные компоненты, отсутствующие в спектре воздействия.

2. Из вывода 1 вытекают возможности построения на основе линейных цепей ограниченного класса типовых ФУ:

а) усилителей и аттенюаторов (ФУ для изменения мощности сигналов без искажения их формы), передаточная функция которых в полосе частот, занимаемой спектром воздействия, имеет вид

, где Н ₀ и t₀ – константы;

б) фильтров разных типов (ФНЧ, ФВЧ, ПФ, РФ, интеграторов, дифференциаторов, фазовращателей и т.п.), передаточная функция которых в полосе частот, занимаемой спектром воздействия, имеет вид

,

где Н (w) (АЧХ) и j(w) (ФЧХ) – заданные функции частоты.

Параметрические преобразования сигналов и ФУ

По определению параметрические ФУ описываются линейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей), у которых есть коэффициенты, зависящие от независимой переменной (времени).

Схемотехнически это означает, что параметрический ФУ содержит хотя бы один элемент, параметр(ы) которого зависит от времени. В подавляющем большинстве случаев параметрические ФУ строятся на использовании перемножителя сигналов (рис. 3.2). Действительно, если генератор колебания рассматривать как внутренний элемент ФУ («чёрного ящика»), то можно записать в виде

,

где (коэффициент передачи параметрического звена) может служить его функциональной характеристикой.

Рассмотрим реакцию параметрического звена (рис. 3.1) при на воздействие вида .

.

Спектры воздействия и реакции приведены на рис. 3.3. Из их рассмотрения можно сделать следующие выводы:

1. Параметрические ФУ обогащают спектр воздействия новыми спектральными составляющими.

2. Частоты новых спектральных составляющих в реакции параметрических ФУ определяются частотами спектральных составляющих воздействия и частотами изменения параметров ФУ.

 

Нелинейные преобразования сигналов и ФУ

Нелинейные преобразователи сигналов описываются нелинейными дифференциальными уравнениями (в том числе нулевого порядка для резистивных цепей), у которых хотя бы один коэффициент зависит от их решения (искомой функции). Соответственно, их схема содержит хотя бы один

Спектр     0 wс w Спектр     0 W w Спектр     0 W wс–W wс wс+W w Рис.3.3. Спектры , и

нелинейный элемент, параметр(ы) которого зависит от протекающего тока или приложенного напряжения.

Анализ нелинейных ФУ в общем случае является сложной задачей, которая существенно упрощается, если возможно разделить ФУ на две независимые части, сосредоточив всю нелинейность в безынерционном нелинейном преобразователе (БНП) а всю инерционность – в линейном (ЛП), как это показано на рис. 3.4. Назовём такую структуру обобщённым нелинейным преобразователем (ОНП). Для анализа ОНП достаточно по известной функциональной характеристике БНП (для безынерционной цепи это обычная функция, а не оператор) определить его реакцию на заданное воздействие , а затем проанализировать прохождение через ЛП одним из вышеуказанных методов.

Рассмотрим возможности изменения спектра сигнала при его прохождении через БНП – цепь 0-го порядка. Для таких цепей в теории широко используют два основных метода спектрального анализа реакции в зависимости от вида аппроксимации функциональной характеристики БНП:

 

1) метод кратных дуг – при полиномиальной аппроксимации

,

2) метод угла отсечки (коэффициентов Берга) – при кусочно-линейной аппроксимации.

Чтобы воспользоваться первым методом, достаточно помнить тригонометрическую формулу

и её частный случай (при )

.

Результаты анализа спектрального состава реакции БНП с полиномиальной функциональной характеристикой при моно- и бигармоническом воздействии приведены в таблице 3.1. В ней указаны только частоты спектральных составляющих реакции.

Из этой таблицы следует, что БНП обогащает спектр воздействия постоянной составляющей, кратными гармониками и колебаниями комбинационных частот вида , где , , причём порядок комбинационных частот (не превосходит степени n полинома, аппроксимирующего функциональную характеристику БНП). Этот вывод можно распространить и на случай полигармонического воздействия.

Выводы

1. Нелинейные ФУ обогащают спектр воздействия новыми спектральными компонентами.

2. Новые спектральные компоненты реакции нелинейных ФУ являются гармониками частот воздействия или колебаниями комбинационных частот вида

, где l,m,k= 0, ±1, ±2,…

Таблица 3.1

	Спектральный состав при
	w0	,
	0, 2w0	0, 2w1, 2w2, ,
	, 3w0	, , , , , , ,
+ …
+	0, 2w0, 4w0,…, k w0 при k = 2 q, , 3w0,…, k w0 при k = 2 q +1, q = 1, 2, 3,…	; , , , , q = 1, 2, 3,…
+ …
	0, 2w0, 4w0,…, n w0 при n = 2 q, , 3w0,…, n w0 при n = 2 q +1, q = 1, 2, 3,…	; , , , q = 1, 2, 3,…

 

 

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте задачи анализа и синтеза ФУ.

2. Дайте классификацию ФУ по виду описывающих их дифференциальных уравнений.

3. Каковы принципиальные ограничения на возможности преобразования сигналов в линейных ФУ?

4. Что можно использовать в качестве функциональных характеристик линейных ФУ?

5. Какие типовые ФУ, используемые в системах связи, можно реализовать в классе линейных цепей?

6. Каковы возможности параметрических ФУ по преобразованию сигналов?

7. Опишите характер обогащения спектров сигналов в параметрических ФУ.

8. Каковы возможности нелинейных ФУ по преобразованию сигналов?

9. Какие виды аппроксимации функциональных характеристик безынерционных нелинейных преобразователей целесообразны в режимах а) слабого сигнала, б) сильного сигнала?

Рис. 3.5. Исследование преобразований сигналов в линейных ФУ

10. Какой метод спектрального анализа реакции нелинейного ФУ используют при аппроксимации его функциональной характеристики степенным полиномом?

11. Какой метод спектрального анализа реакции нелинейного ФУ используют при кусочно-линейной аппроксимации его функциональной характеристики?

12. Опишите спектральный состав реакции нелинейного ФУ на моногармоническое воздействие.

13. Опишите спектральный состав реакции нелинейного ФУ на полигармоническое воздействие.

14. Нарисуйте схему перемножителя сигналов и укажите назначение её элементов.

15. При каких условиях кольцевой диодный перемножитель обеспечивает «чистое» перемножение сигналов?

16. В чём сущность метода фазовой компенсации побочных продуктов нелинейного преобразования сигналов?

 

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований преобразований сигналов в линейных, нелинейных и параметрических ФУ

Для закрепления полученных в разделе 3.1 знаний полезно выполнить лабораторные работы № 2 «Линейная фильтрация сигналов» (рис. 3.5), № 6 «Преобразования сигналов в нелинейных цепях» (рис. 3.6) и № 7 «Нелинейное усиление и умножение частоты сигналов» (из перечня тем виртуальной учебной лаборатории) (рис. 3.7) в полных объёмах, а также провести дополнительные экспериментальные исследования, используя иные виды сигналов в рамках предоставляемых этими работами ресурсов. Обратите, прежде всего, внимание на принципиальные различия в характере трансформации спектров входных сигналов в результате их линейных и нелинейных преобразований. Сформулируйте, в чём состоят эти отличия и какие практически важные следствия они имеют с точки зрения реализации ФУ раз-

Рис. 3.6. Исследование преобразований сигналов в нелинейных ФУ

 

Рис. 3.7. Исследование преобразований сигналов в нелинейных ФУ

 

личного назначения. Обратите внимание на функции нелинейного элемента и его линейной нагрузки в нелинейных преобразователях и конкретизируйте из применительно к нелинейному усилителю и умножителю частоты сигналов.

Для экспериментальных исследований параметрических преобразований сигналов можно воспользоваться параметрическими преобразователями, входящими в состав системы передачи непрерывных сообщений из лабораторной работы № 11 «Линейные виды модуляции и синхронное детектирование» (рис. 3.8). В рамках ресурсов, предоставляемых этой работой, можно провести наблюдение осциллограмм и спектрограмм произведения произвольного сигнала s ₁(t) с гармоническим колебанием. В качестве произвольного входного сигнала s ₁(t) используйте как НЧ, так и ВЧ сигналы, выбирая их с помощью пункта меню «Сигналы/ s ₁(t)» этой работы. Обратите внимание на характер обогащения спектра параметрическим преобразователем и определите частоты новых спектральных составляющих на его выходе.

Перемножение сигналов

В качестве первого типового ФУ рассмотрим перемножитель сигналов, тем более, что он используется в параметрическом звене (рис. 3.1). По определению перемножителем является ФУ с двумя входами, выходной сигнал которого пропорционален произведению входных сигналов (рис.3.9). Поскольку операция перемножения не является линейной, то схемотехническое решение перемножителя следует искать в классе нелинейных цепей.

Проанализируем схему кольцевого (мостового) перемножителя (рис. 3.10), в которой в качестве нелинейных элементов используются диоды. Предварительно сделаем следующие допущения:

1) все диоды имеют квадратичные вольтамперные характеристики (режим слабого сигнала)

с одинаковыми коэффициентами ,

2) сопротивления нагрузочных резисторов R одинаковы (симметрия схемы),

3) один из входных сигналов поступает от двух идентичных источников (e ₁) (симметрия схемы).

Выходное напряжение

.

Для определения токов диодов подставим в выражение их вольтамперной характеристики соответствующие напряжения , определяя последние через входные сигналы и . Падением напряжения на нагрузке при этом будем пренебрегать. Произведём алгебраическое суммирование токов:

 

+

–

–

+

.

Обратим внимание на то, что является «чистым» произведением и , хотя в составе тока любого диода много посторонних слагаемых. Объясняется это тем, что при сложении токов диода в реакции ФУ их полезные составляющие (пропорциональные произведению и ) оказались синфазными, а все посторонние – противофазными. В результате первые сложились арифметически, а вторые компенсировались. Такой способ очистки реакции нелинейного преобразователя от побочных продуктов преобразования называют методом фазовой компенсации и широко используют в схемотехнике.

Выводы

1. ФУ (рис. 3.10) является «чистым» перемножителем произвольных сигналов и (в рамках выше сделанных допущений о режиме слабого сигнала, симметрии схемы, идентичности характеристик диодов).

2. «Чистота» операции перемножения достигнута методом фазовой компенсации.

3. Суть метода фазовой компенсации заключается в следующем:

· ФУ строится по симметричной многоканальной схеме,

· выходные реакции каналов суммируются,

· на входы каналов сигналы подают с таким подбором фаз, чтобы при сложении реакций каналов полезные составляющие оказались бы синфазными и суммировались, а побочные были бы противофазными и взаимно компенсировались.

 

Амплитудная модуляция

Модуляция в системах связи используется тогда, когда непосредственная передача первичного сигнала по линии связи оказывается невозможной. Согласование передаваемого сигнала с характеристиками линии связи достигается использованием колебания, которое хорошо распространяется в имеющейся линии связи. Один или несколько параметров этого колебания связывают с первичным сигналом. Такое колебание называют переносчиком, процесс изменения его параметра(ов) – модуляцией, первичный сигнал – модулирующим, а получаемый вторичный сигнал – модулированным.

В качестве переносчика широко применяют гармоническое несущее колебание , обладающее тремя параметрами: амплитудой А, частотой w и начальной фазой j. Соответственно возможны три простых вида модуляции: амплитудная, частотная и фазовая. При амплитудной модуляции первичный сигнал отображают в амплитуде (огибающей) А несущего колебания следующим образом

. (3.1)

Добавление к модулирующему сигналу постоянной составляющей необходимо, чтобы сделать эту сумму униполярной, т.к. огибающая по определению. Разумеется, если модулирующий сигнал сам по себе является униполярным, например, сигнал изображения в телевидении, то никакой добавки не требуется ().

 

Спектры АМ сигналов

Спектр простого АМ сигнала.

Модулированный сигнал называют простым, если в качестве модулирующего сигнала использовано гармоническое колебание. Таким образом, простой АМ сигнал имеет вид

, (3.2)

где U _н – амплитуда несущего колебания,

m – коэффициент (глубина) модуляции, .

Для получения спектра сигнала простого АМ сигнала достаточно в выражении (3.2) раскрыть скобки

.

Таким образом, спектр простого АМ сигнала содержит несущее и два боковых колебания (рис.3.11). Нетрудно видеть, что его ширина , где – частота модулирующего сигнала. Обратите внимание на то, что амплитуда несущего колебания не зависит от модулирующего сигнала в отличие от амплитуд боковых колебаний. Это говорит о том, что информации о модулирующем сигнале в несущем колебании не содержится. Она содержится исключительно в боковых колебаниях, которые возникают в процессе осуществления амплитудной модуляции.

Спектры: 0 wн w     0 W w U н DwАМ 0 W wн–W wн wн+W w Рис.3.11. Спектры , и

Спектр сложного АМ сигнала

На основе выражения (3.2) спектр сложного АМ сигнала при полигармоническом модулирующем сигнале можно записать в виде

, (3.3)

где W₁, W₂,… – частоты модулирующего сигнала,

m ₁, m ₂,… – парциальные коэффициенты модуляции.

В случае Т -финитного модулирующего сигнала соответствующий АМ сигнал выглядит следующим образом

,

где k _АМ – нормирующий коэффициент, обеспечивающий условие A (t)≥0.

Для нахождения его спектральной функции перейдём к комплексному сигналу

.

Используя свойства преобразования Фурье (2.6) и (2.7), получим

. (3.4)

Спектры сигналов (3.3) и (3.4) приведены на рис.3.12.

Выводы

1. Спектр АМ сигнала содержит:

а) несущее колебание на частоте w_н,

б) верхнюю боковую полосу (ВБП), представляющую собой спектр модулирующего сигнала , смещённый по оси частот вверх на w_н,

в) нижнюю боковую полосу (НБП), являющуюся «зеркальным отражением» ВБП относительно w_н.

2. Ширина спектра АМ сигнала вдвое больше максимальной модулирующей частоты

Энергетика АМ сигналов

Определим мощность простого АМ сигнала, понимая под ней среднее за период несущего колебания значение квадрата сигнала (3.2)

,

где – мощность несущего колебания.

Максимальная (пиковая) мощность, на которую рассчитывают усилители АМ сигналов,

,

до 4 раз превышает мощность .

Средняя мощность АМ сигнала за период модулирующего сигнала (потребляемая от источников питания модулятора или усилителя АМ сигнала)

,

где – мощность боковых колебаний.

Из полученных результатов можно сделать вывод о низкой энергетической эффективности амплитудной модуляции, так как полезная (в информационном смысле) мощность боковых колебаний не превышает половины от мощности несущего колебаний и трети от средней мощности .