Математические модели сигналов

Сигналы как элементы функциональных

Пространств

Сигналы – это, прежде всего, процессы, т.е. функции времени x (t), существующие на ограниченном интервале Т (в теории возможно Т → ∞). Их можно изобразить графически (рис. 2.1) и описывать упорядоченной последовательностью значений в отдельные моменты времени t_k

(вектор строка).

Разные сигналы отличаются формой (набором значений x (t_k)). Вместо сложной совокупности точек кривой x (t) в простой области – двумерном пространстве можно ввести в рассмотрение более сложные пространства (пространства сигналов), в которых каждый сигнал изображается простейшим элементом – точкой (вектором).

В математике под пространством понимают множество объектов (любой физической природы), наделенных некоторым общим свойством. Свойства, которыми целесообразно наделять пространства сигналов, должны отражать наиболее существенные свойства реальных сигналов, такие как их длительность, энергия, мощность и т.п.

 

Метрические пространства

Первое свойство, которым мы наделим пространство сигналов, называют метрикой.

Метрическое пространство – это множество с подходящим образом определенным расстоянием между его элементами. Само это расстояние, как и способ его определения, называют метрикой и обозначают . Метрика должна представлять собой функционал, т.е. отображение любой пары элементов и множества на действительную ось, удовлетворяющее интуитивно понятным требованиям (аксиомам):

 

1) (равенство при ),

2) ,

3) (аксиома треугольника).

 

Следует отметить, что метрики можно задать разными способами и в результате для одних и тех же элементов получить разные пространства.

 

Примеры метрик:

1) ,

2) евклидова метрика,

3) евклидова метрика.

Линейные пространства

Усовершенствуем структуру пространства сигналов, наделив его простыми алгебраическими свойствами, присущими реальным сигналам, которые можно алгебраически складывать и умножать на числа.

Линейным пространством L над полем F называют множество элементов , называемых векторами, для которых заданы две операции –сложение элементов (векторов) и умножение векторов на элементы из поля F (называемые скалярами) . Не вдаваясь в математические детали, в дальнейшем, под полем скаляров будем понимать множества вещественных чисел R (случай действительного пространства L) или комплексных чисел С (случай комплексного пространства L). Эти операции должны удовлетворять системе аксиом линейного пространства.

1. Замкнутость операций сложения и умножения на скаляр:

,

.

2. Свойства сложения:

ассоциативность,

коммутативность.

3. Свойства умножения на скаляр:

ассоциативность,

дистрибутивность суммы векторов,

дистрибутивность суммы скаляров.

4. существование нулевого вектора.

5. существование проти-

воположного вектора.

 

Вектор, образованный суммированием нескольких векторов со скалярными коэффициентами

,

называют линейной комбинацией (многообразием). Легко видеть, что множество всех линейных комбинаций векторов при разных a _i (не затрагивая ) также образует линейное пространство, называемое линейной оболочкой для векторов .

Множество векторов называют линейно независимыми, если равенство

возможно лишь при всех a _i = 0. Например, на плоскости любые два неколлинеарные вектора (не лежащие на одной прямой) являются линейно независимыми.

Система линейно независимых и ненулевых векторов образует в пространстве L базис, если

.

Этот единственный набор скаляров {a _i }, соответствующий конкретному вектору , называют его координатами (проекциями) по базису .

Благодаря введению базиса операции над векторами превращаются в операции над числами (координатами)

.

Если в линейном пространстве L можно отыскать n линейно независимых векторов, а любые n + 1 векторов зависимы, то n – размерность пространства L (dim L = n).

 

Нормированные пространства

Следующий наш шаг в совершенствовании структуры пространства сигналов – объединение геометрических (характерных для метрических пространств) и алгебраических (для линейных пространств) свойств путем введения действительного числа, характеризующего «размер» элемента в пространстве. Такое число называют нормой вектора и обозначают .

В качестве нормы можно использовать любое отображение линейного пространства на действительную ось, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1) , = 0,

2) ,

3) .