Разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье

Введем в пространстве L₂ (T) базис {ψ _i (t)}. Для упрощения последующих вычислений будем полагать, что он ортонормированный, т.е. отвечает условию

.

Тогда любую функцию х (t) из L₂ (T) можно представить через проекции C_i вектора на оси базиса – функции {ψ _i (t)} обобщённым рядом Фурье . (2.1)

Для нахождения проекций C_j, называемых также коэффициентами разложения х (t) в обобщенный ряд Фурье, вычислим скалярное произведение

Таким образом

.

Получим еще одно важное соотношение

являющееся частным случаем равенства Парсеваля.

 

Контрольные вопросы

1. Что понимают под «пространством сигналов»?

2. Какие пространства называют метрическими?

3. Что такое «метрика» пространства и каким требованиям она должна удовлетворять?

4. Какие пространства называют линейными?

5. Сформулируйте аксиомы линейного пространства.

6. Каковы условия линейной независимости векторов?

7. Что такое «линейная оболочка» векторов ?

8. Что такое «базис» в пространстве L?

9. Что называют координатами (проекциями) вектора по заданному базису?

10. Какие пространства называют нормированными?

11. Что представляет собой норма вектора и каким требованиям она должна удовлетворять?

12. Какой физический смысл имеет норма сигнала в пространствах L ₂(T) и L ₂(¥)?

13. Что представляет собой скалярное произведение векторов и какими свойствами оно обладает?

14. Как определяют «угол» между векторами (сигналами)?

15. Приведите примеры пространств со скалярным произведением. Как оно вычисляется в этих пространствах?

16. Как скалярное произведение порождает норму и метрику?

17. Что называют обобщённым рядом Фурье?

18. Как вычисляют коэффициенты разложения в обобщённый ряд Фурье?

19. Напишите равенство Парсеваля и дайте ему физическую трактовку.

Спектральное представление сигналов

Спектры периодических сигналов

Периодическими называют сигналы, обладающие следующим свойством

x (t) = x (t – kT), где Т – период, k = 0, ±1, ±2, ±3,….

Как известно, такие функции (если они удовлетворяют известным из математики условиям Дирихле, которые для интересующих нас случаев всегда выполняются) можно представить суммой тригонометрического ряда (ряда Фурье)

, (2.2)

где , ,

.

Форма (2. 1) ряда Фурье удобна с точки зрения простоты вычисления коэффициентов разложения a_k и b_k. Ряд Фурье можно записать иначе

, (2.3)

где , , ,

.

Совокупность амплитуд A_k называют амплитудным, а совокупность фаз j _k – фазовым спектрами. Их можно изображать графически (рис. 2.1). Амплитудный и фазовый спектры сигнала в совокупности однозначно определяют его форму (временную зависимость).

 

 

Ak A1 A0 A2 A3 A5 A4 A6 A7 0 F1 2 F1 3 F1 4 F1 5 F1 6 F1 7 F1 f j k j 1  j 4 j 6 j 3 j 7 0 f j 2 j 5   Рис. 2.1. Амплитудный и фазовый спектры

Наиболее компактной является запись ряда Фурье в комплексной форме

, (2.4)

где .

Комплексный спектр (2.4) можно интерпретировать как представление x (t) в виде сумм спектральных составляющих , каждая из которых представляет собой пару гармонических колебаний с половинной амплитудой на положительной (+| k |w₁) и отрицательной (–| k |w₁) частотах. Для вещественных функций x (t)

– амплитудный спектр – чётная функция частоты,

– фазовый спектр – нечётная функция частоты.

Сопоставляя (2.2) и (2.4) с (2.1), нетрудно убедиться, что ряд Фурье является частным случаем обобщённого ряда Фурье при выборе в качестве базиса совокупности тригонометрических или экспоненциальных функций.

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа периодических сигналов являются ряды Фурье.

2. Спектры периодических сигналов дискретные (линейчатые), представляют собой совокупность амплитуд и фаз гармонических колебаний (составляющих) следующих по оси частот через интервалы Δ f = f ₁ = 1/ T.

3. Ряд Фурье является частным случаем обобщенного ряда Фурье при использовании в качестве базиса

или .

 

Спектры Т-финитных сигналов

Т-финитными называют ограниченные по времени сигналы. По определению они не могут быть периодическими и, следовательно, к ним не применимо разложение в ряды Фурье.

Чтобы получить адекватное описание таких сигналов в частотной области используют следующий прием. На первом этапе от заданного сигнала x (t), имеющего начало в точке t ₁ и конец в точке t ₂ переходят к сигналу x _п(t), являющемуся периодическим повторением x (t) на бесконечной оси времени с периодом . Сигнал x _п(t) можно разложить в ряд Фурье

_,

где .

Введём в рассмотрение текущую частоту и спектральную плотность амплитуд .

Тогда _.

Исходный сигнал x (t) можно получить из x _п(t) в результате предельного перехода Т® ¥.

При этом

, , å ® ò, ,

Таким образом, для описания спектра финитного сигнала приходим к известному в математике интегральному преобразованию Фурье:

– прямое,

– обратное.

В данном случае (и в дальнейшем) комплексную функцию записали в виде , как это принято в научно-технической литературе.

Из полученных соотношений следует, что спектр Т-фи- нитного сигнала сплошной. Он представляет собой совокупность бесконечного числа спектральных составляющих с бесконечно малыми амплитудами , непрерывно следующих по оси часты. Вместо этих бесконечно малых амплитуд используют спектральную функцию (спектральную плотность амплитуд)

,

где – амплитудный спектр,

– фазовый спектр.

 

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа Т-финитных сигналов является интегральное преобразование Фурье.

2. Спектры Т-финитных сигналов сплошные и описываются непрерывными функциями частоты в виде модуля спектральной плотности амплитуд (амплитудный спектр) и её аргумента (фазовый спектр).

 

Свойства преобразования Фурье

1. Прямое и обратное преобразование Фурье являются линейными операторами, следовательно, действует принцип суперпозиции. Если , то .

2. Прямое и обратное преобразование Фурье являются взаимно однозначными.

3. Свойство запаздывания.

Если , то

(в данном случае использованы подстановки: ).

4. Спектральная функция δ-функции.

Используя общее выражение спектральной функции и фильтрующее свойство δ-функции, получим

.

 

 

5. Спектральная функция комплексного гармонического сигнала .

(2.5)

Используя одно из определений δ-функции

и выполняя в нём взаимную замену t и w (или f), получим

и .

Сопоставляя полученный результат с (2.5), имеем

(2.6)

6. Скалярное произведение комплексных сигналов в спектральной области. Пусть и – комплексные функции на интервале (–T/2, T/2). Их скалярное произведение

Из полученного результата для вещественных функций вытекает равенство Парсеваля (обобщённая формула Рэлея)

,

где – энергия сигнала ,

а – спектральная плотность энергии.

Для сигналов x (t), заданных на бесконечной оси времени (–¥,+¥), с , но имеющих ограниченную мощность , вместо спектральной плотности энергии можно использовать спектральную плотность мощности (энергетический спектр)

.

Тогда , т.к.

и – чётные функции, – односторонняя спектральная плотность мощности (энергетический спектр).

7. Скалярное произведение комплексных сигналов и в спектральной области. .

При и

, –

– корреляционная функция сигнала x (t).

Из последнего выражения вытекают важные соотношения между корреляционной функцией и энергетическим спектром сигнала

,

.

8. Спектр произведения сигналов .

, – – свертка функций и .

Таким образом, спектральная функция произведения двух сигналов является свёрткой их спектральных функций.

Справедливо также и обратное соотношение

.

9. Свойство смещения спектра.

Если , то

. (2.7)

10. Ширина спектра.

Теоретически ширина спектра сигналов бесконечна. Однако, учитывая, что интенсивность спектральных составляющих реальных сигналов уменьшается с ростом их частоты (не обязательно монотонно), можно ввести понятие практической (конечной) ширины спектров (рис. 2.3 и 2.4). Практическую ширину спектра DW можно определять как ширину частотного интервала, в пределах которого амплитудный спектр S(w) не меньше некоторого условного уровня g (например g = 0,1) от S(w)_max или энергия (мощность) сигнала составляет определённую часть g (например g = 0,9) от полной

.

Для импульсов простых форм (прямоугольной, треугольной и т.п.), спектральная функция которых периодически принимает нулевые значения с ростом частоты (рис. 2.3 и 2.4), практическую ширину спектра часто определяют по первому или второму или иному «нулю» амплитудного спектра.

Независимо от способа определения практической ширины спектра Т-финитного сигнала выполняется общая закономерность – произведение практической ширины спектра на длительность сигнала D t есть константа C, зависящая только от формы импульса

DW·D t = C.

Это соотношение имеет фундаментальное значение в теории связи. Из него вытекает, что чем короче сигнал, тем шире его спектр и, следовательно, тем более широкополосный канал требуется для его передачи.

 

 

Контрольные вопросы

1. Какие сигналы являются периодическими?

2. Какой математический аппарат используется для спектрального анализа периодических сигналов?

3. Что называют амплитудным и фазовым спектрами периодического сигнала?

4. Какими свойствами обладают спектры периодических сигналов?

5. Как вычисляют амплитуды и фазы спектральных составляющих периодических сигналов?

6. Какие сигналы называют Т -финитными?

7. Какой математический аппарат используется для спектрального анализа Т -финитных сигналов?

8. Что такое спектральная функция (спектральная плотность амплитуд) сигнала и какова её размерность?

9. Что понимают под амплитудным и фазовым спектрами Т -финитного сигнала?

10. Как изменяется спектр сигнала в результате его задержки на время t?

11. Что представляет собой спектр d-функции?

12. Какова спектральная функция гармонического колебания?

13. Как можно вычислить скалярное произведение сигналов в спектральной области?

14. Что представляют собой спектральные плотности энергии и мощности сигналов? Каковы их размерности и свойства?

15. Что представляет собой корреляционная функция сигнала ?

16. Как вычисляют спектр произведения сигналов?

17. Как изменяется спектр сигнала в результате его умножения на гармоническое колебание?

 

Рекомендации по проведению экспериментальных исследований ортогональности и спектров сигналов

Для закрепления полученных в разделе 2.1 знаний полезно провести экспериментальные исследования на базе лабораторной работы № 5 «Ортогональность сигналов» (из перечня тем виртуальной учебной лаборатории) в полном объёме (рис. 2.2). Она позволяет понять, как на практике реализуется вычисление скалярного произведения двух сигналов, экспериментально определить являются ли выбранные пары сигналов ортогональными на установленном временном интервале. Обратите внимание на условия ортогональности двух гармонических сигналов разных частот и их связь с интервалом ортогональности.

Для закрепления полученных в разделе 2.3 знаний по спектральному представлению периодических сигналов полезно выполнить лабораторную работу № 1 «Сигналы и спектры» в полном объёме, а также провести дополнительные экспериментальные исследования, используя иные виды сигналов в рамках предоставляемых этой работы ресурсов (рис. 2.3). Обратите внимание на дискретность спектров и связи их характеристик с параметрами и формой сигналов.

Для закрепления полученных в разделе 2.3 знаний по спектральному представлению финитных сигналов полезно на базе лабораторной работы № 22 «Согласованная фильтрация сигналов известной формы» провести экспериментальные исследования спектров одиночных импульсов разных форм, используя генератор сигналов, предоставляемый этой работой (рис. 2.4). Обратите внимание на сплошной характер спектров одиночных импульсов и на их связь с формой импульсов.

При выполнении указанных работ не обязательно строго придерживаться имеющихся в них заданий. Используйте возможности ресурсов ВЛ для проведения исследований по своему усмотрению и желанию.

Рис. 2.2. Исследование ортогональности сигналов

 

 

Рис. 2.3. Спектры некоторых периодическихъ сигналов

 

Рис. 2.4. Спектры некоторых Т-финитных сигналов