Поясните понятие обобщенного ряда Фурье

Обобщенный ряд Фурье. В теории и технике передачи аналоговых сообщений широко используется разложение непрерывных функций на интервале определения в ряд (1)

Ряд (1), в котором коэффициенты С_n определены по данной формуле называются обобщенным рядом Фурье по данной системе . Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала x(t) в ортогональной системе и полностью определяет этот сигнал.

При этом система функций называется базисной, а представление сигнала в виде (1) – его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом. Если сигнал является комплексным, то и коэффициенты также будут являться комплексными.

В общем случае ряд (1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. Для практических расчетов такой ряд обычно усекают до N-го члена ряда, и имеет место аппроксимация сигнала конечным рядом (1). Поэтому возникают задачи по выбору системы функций позволяющих технически просто получить набор коэффициентов и минимизирующих погрешность

при заданном N по какому-либо определенному критерию. Обычно в качестве критерия приближения используют среднеквадратическую погрешность

.

Для того, чтобы разложение сигнала в форме (1) было возможным, системы базисных функций (СБФ) должна удовлетворять ряду требований:

1. Быть упорядоченной системой линейно-независимых функций.
2. Быть полной для ортогональных функций, т.е. представлять в заданном базисе любой сигнал из заданного множества, любую реализацию случайного процесса удовлетворяющего условию (условие конечности энергии на интервале определения .
3. Число линейно-независимых функций в полной система должна быть равно размерности рассматриваемого множества сигналов, т.е. количеству чисел, с помощью которых можно выбрать любой сигнал из этого множества. Когда рассматривается множество непрерывных сигналов произвольной формы, то их размерность бесконечно велика и в этом случае СБФ должна содержать также бесконечно большое число линейно независимых функций.

Наиболее удобно производить разложение сигналов, если базисная система является ортогональной на интервале определения сигнала :

22. Запишите основные формулы прямого и обратного преобразования Фурье для непрерывного и дискретного сигналов

Обобщенный ряд Фурье. В теории и технике передачи аналоговых сообщений широко используется разложение непрерывных функций на интервале определения в ряд

(1)

При этом система функций называется базисной, а представление сигнала в виде (1) – его разложением по системе базисных функций или обобщенным рядом. Если сигнал является комплексным, то и коэффициенты также будут являться комплексными.

В общем случае ряд (1) для непрерывных сигналов содержит бесконечное число членов. Для практических расчетов такой ряд обычно усекают до N-го члена ряда, и имеет место аппроксимация сигнала конечным рядом (1).

При представлении сигналов в форме (1) необходимо решить вопрос о способе вычисления спектральных коэффициентов. Он во многом будет зависеть от принятого критерия сходимости (приближения). Для среднеквадратичного критерия коэффициенты С_n выбирают таким образом, чтобы СКП была минимальной. Умножив обе части уравнения (1) на , проинтегрировав в пределах и учтя ортогональность функций и , получим важное соотношение (2)

Ряд (1), в котором коэффициенты С_n определены по данной формуле называются обобщенным рядом Фурье по данной системе . Совокупность коэффициентов называется спектром сигнала x(t) в ортогональной системе и полностью определяет этот сигнал.

До сих пор мы говорим о непрерывных сигналах. Рассмотрим представление с помощью спектров дискретных сигналов. Решетчатая функция x(i), записывается в виде обобщенного дискретного ряда (3)

по любым полным и ортогональным системам решетчатых базисных функций (в дальнейшем БФ) . При этом моменты отсчетов БФ должны совпадать с моментами отсчетов раскладываемых сигналов.

Условия ортогональности и нормированности дискретных СБФ определяются уравнениями:

а равенство Парсеваля для дискретных сигналов имеет вид

а - мощность БФ.

Для дискретных функций, удовлетворяющих условию

справедлива следующая формула для определения спектра (4)

Формулы (3) и (4) представляют собой дискретные преобразования Фурье.

Число СБФ в дискретном ряде совпадает с размерностью раскладываемой решетчатой функции N. В соответствии с этим дискретные ряды Фурье () для сигналов с ограниченным интервалом определения имеют конечный характер и дискретные функции воспроизводятся с их помощью точно. Это принципиально отличает их от непрерывных разложений, где суммирование ведется по бесконечному числу членов и которые воспроизводят не саму функцию, а ее копию, совпадающую с ней при .