Ряд Фурье для четных и нечетных функций.

Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

,

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

Пример 2. Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье функцию y=x, периодическую с периодом , определить сумму в точках разрыва, если они есть.

Решение. Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. Построим график этой функции.

- нечётная, поэтому . Ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : = .

Подставляя коэффициенты в ряд Фурье, получаем разложение

На концах отрезка , поэтому .

Построим график S₃(x)

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для четной функции

2. Запишите ряд Фурье для нечетной функции

Ряды Фурье для функций произвольного периода.

Ряд Фурье для функции периода , непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке имеет вид: , где

.

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид: .

Для нечетной функции: .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом на отрезке .

Решение. Построим эскиз графика функции

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция четная, поэтому в разложении ее в ряд Фурье отсутствуют синусы, т. е. = 0. Для четной функции произвольного периода 2 l разложение в ряд Фурье имеет вид: .

В нашем случае l =2, поэтому

Таким образом,

Окончательно получаем

Построим график частичной суммы S₃(x)

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для функции с произвольным периодом

2. Запишите ряд Фурье для четной функции с произвольным периодом

3. Запишите ряд Фурье для нечетной функции с произвольным периодом

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье, в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, что функция f(x) задана на отрезке и является на этом отрезке кусочно - монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно - монотонную функцию c периодом , совпадающую с функцией f(x) на отрезке . То есть можно подобрать отрезок , содержащий отрезок и раскладывать в ряд Фурье функцию на это отрезке.

 

y

f(x)

 

 

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

 

Таким образом, функция f(x) была доопределена. Полученная функция разлагается в ряд Фурье на отрезке , являясь периодической с периодом 2 T. Сумма ряда, составленного для функции , во всех точках отрезка совпадает с функцией f(x), поэтому можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке .

Если функция f(x) задана на отрезке, равном 2 l, то ее разложение ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции с периодом 2 l. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2 l, то ее можно продолжить на отрезок [ a; a+ 2 l ], так, чтобы условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2 l может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но все они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке .

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом , т.е. . Построим график этой функции

Тогда, ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид: .

Таким образом . Построим график S₃(x).

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для непериодической функции, заданной на некотором интервале (а,b).

§5. Задача о разложении в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] ([0.l]) по синусам или по косинусам

Этот случай можно свести к предыдущему. Для решения задачи достаточно дополнить определение этой функции для значений x в проме­жутке по свободному выбору. Теперь уже будет оп­ределена на отрезке . Далее поступаем так, как описано в §3. В силу того, что мы свободны в выборе вида функции на промежутке , то в результате будут получаться различные ряды Фурье в зависимости от этого выбора. Этот факт может быть использован для получения ряда Фурье функции , содержащего или только косинусы, или только синусы.

Если доопределить данную функцию так, чтобы при , то в результате получится четная функция в промежутке , разложение в ряд Фурье такой функции содержит только косинусы. Коэффициенты разложения можно вычислять по форму­лам: , . Таким образом, заданную на отрезке функцию мы разложили по косинусам.

Если доопределить данную функцию так, чтобы при , то в результате получится нечетная функция, рассматриваемая на промежутке . Разложение в ряд Фурье такой функции содержит только синусы. При этом коэффициенты разложения можно вычислять по формуле: . В этом случае функция , заданная на промежутке , будет разложена по синусам.

Графически это можно представить следующим образом:

Из сказанного следует: заданную на промежутке функ­цию можно разлагать в ряд Фурье как по синусам, так и по ко­синусам.

Замечание 1. Нетрудно заметить, что как в случае разложения неперио­дической функции , определенной на отрезке , так и в случае ее разложения на отрезке периодическое продолжение заданной функции можно и не осуществлять. На это указывают формулы, из которых определяют­ся коэффициенты Фурье. Но чтобы не сделать ошибок, рекомендуется иметь эскиз графика функции с ее четным или нечетным продолжением на про­межутке и с последующим периодическим продолжением на всю чи­словую прямую.

Замечание 2. В случае разложения неперио­дической функции , определенной на отрезке периодическое продолжение производится аналогично функции, определенной на . Формулы, из которых определяют­ся ряд и коэффициенты Фурье, выбираются соответственно для нечетной функции: ,

для четной функции.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам.

Решение. Продолжив заданную функцию нечетным образом на промежуток , получим функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле на отрезке длиной .

Найдем коэффициенты Фурье для этой функции. Так как она нечетна и, кроме того, симметрична относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, ее ряд Фурье содержит только нечетные синусоиды: , .

Окончательно получаем .

Построим график S₃(x)

Во многих задачах приходится разлагать в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке . При этом функция на этом промежутке оказывается не только непрерывной, но и дифференцируемой. В этом случае мы можем разложить в ряд Фурье данную функцию, как по синусам, так и по косинусам. Спрашивается, какому разложению отдать предпочтение? Какой ряд будет обладать лучшими свойствами сходимости? Для практики решение этих вопросов имеет немаловажное значение.

Характер сходимости ряда Фурье определяется свойствами заданной функции в граничных точках и . Если функция в этих точках отлична от нуля, то периодическое продолжение ее по принципу нечетной функции приведет к разрыву в двух точкам и . Эти разрывы легко ликвидируются, если определить как четную функцию. По этой причине разложение в ряд по косинусам будет обладать гораздо лучшими свойствами сходимости, чем разложение по синусам. В этом случае коэффи­циенты ряда косинусов убывают со скоростью а коэффициен­ты ряда синусов - со скоростью .

Если теперь допустить, что в точках и при­нимает значения, равные нулю, то разложение в ряд по синусам дает гораздо лучшую сходимость, чем разложение в ряд по коси­нусам, так как периодическое продолжение функции по принципу нечетной функции обеспечивает непрерывность и самой функции и ее первой производной, в то время как периодическое продолжение по принципу четной функ­ции приводит к разрыву первой производной в точках и . В этом случае коэффициенты ряда синусов убывают со скоростью , подходящей для многих приложений рядов Фурье.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для разложения функции, заданной на промежутке , по синусам и косинусам