ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Ряд Фурье для четных и нечетных функций.



Отметим следующие свойства четных и нечетных функций:

1)

2) Произведение двух четных и нечетных функций является четной функцией.

3) Произведение четной и нечетной функций – нечетная функция.

Если f(x) – четная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то можно записать:

Таким образом, для четной функции ряд Фурье записывается:

,

Аналогично получаем разложение в ряд Фурье для нечетной функции:

Пример 2. Построить эскиз графика, разложить в ряд Фурье функцию y=x, периодическую с периодом , определить сумму в точках разрыва, если они есть.

Решение. Эта функция непрерывна на отрезке , то есть на отрезке длиной в период, поэтому допускает разложение в ряд Фурье, сходящейся к ней в каждой точке этого отрезка. Построим график этой функции.

- нечётная, поэтому . Ряд Фурье имеет вид: . Вычислим коэффициенты : = .

Подставляя коэффициенты в ряд Фурье, получаем разложение

На концах отрезка , поэтому .

Построим график S3(x)

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для четной функции

2. Запишите ряд Фурье для нечетной функции

Ряды Фурье для функций произвольного периода.

Ряд Фурье для функции периода , непрерывной или имеющей конечное число точек разрыва первого рода на отрезке имеет вид: , где

.

Для четной функции произвольного периода разложение в ряд Фурье имеет вид: .

Для нечетной функции: .

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом на отрезке .

Решение. Построим эскиз графика функции

Проверив выполнение условий Дирихле для функции, переходим к вычислению коэффициентов Фурье. Заданная функция четная, поэтому в разложении ее в ряд Фурье отсутствуют синусы, т. е. = 0. Для четной функции произвольного периода 2l разложение в ряд Фурье имеет вид: .

В нашем случае l=2, поэтому

Таким образом,

Окончательно получаем

Построим график частичной суммы S3(x)

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для функции с произвольным периодом

2. Запишите ряд Фурье для четной функции с произвольным периодом

3. Запишите ряд Фурье для нечетной функции с произвольным периодом

Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Задача разложения непериодической функции в ряд Фурье, в принципе не отличается от разложения в ряд Фурье периодической функции.

Допустим, что функция f(x) задана на отрезке и является на этом отрезке кусочно - монотонной. Рассмотрим произвольную периодическую кусочно - монотонную функцию c периодом , совпадающую с функцией f(x) на отрезке . То есть можно подобрать отрезок , содержащий отрезок и раскладывать в ряд Фурье функцию на это отрезке.

 

y

f(x)

 

 

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

 

Таким образом, функция f(x) была доопределена. Полученная функция разлагается в ряд Фурье на отрезке , являясь периодической с периодом 2T. Сумма ряда, составленного для функции , во всех точках отрезка совпадает с функцией f(x), поэтому можно считать, что функция f(x) разложена в ряд Фурье на отрезке .

Если функция f(x) задана на отрезке, равном 2l, то ее разложение ничем не отличается от разложения в ряд периодической функции с периодом 2l. Если же отрезок, на котором задана функция, меньше, чем 2l, то ее можно продолжить на отрезок [a; a+2l ], так, чтобы условия разложимости в ряд Фурье сохранялись. Вообще говоря, в этом случае продолжение заданной функции на отрезок (интервал) длиной 2l может быть произведено бесконечным количеством способов, поэтому суммы получившихся рядов будут различны, но все они будут совпадать с заданной функцией f(x) на отрезке .

Пример 4. Разложить в ряд Фурье функцию .

Решение. Будем считать функцию периодической с периодом , т.е. . Построим график этой функции

Тогда, ряд Фурье для этой функции будет иметь следующий вид: .

Таким образом . Построим график S3(x).

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для непериодической функции, заданной на некотором интервале (а,b).

§5. Задача о разложении в ряд Фурье функции, заданной на отрезке [0, π] ([0.l]) по синусам или по косинусам

Этот случай можно свести к предыдущему. Для решения задачи достаточно дополнить определение этой функции для значений x в проме­жутке по свободному выбору. Теперь уже будет оп­ределена на отрезке . Далее поступаем так, как описано в §3. В силу того, что мы свободны в выборе вида функции на промежутке , то в результате будут получаться различные ряды Фурье в зависимости от этого выбора. Этот факт может быть использован для получения ряда Фурье функции , содержащего или только косинусы, или только синусы.

Если доопределить данную функцию так, чтобы при , то в результате получится четная функция в промежутке , разложение в ряд Фурье такой функции содержит только косинусы. Коэффициенты разложения можно вычислять по форму­лам: , . Таким образом, заданную на отрезке функцию мы разложили по косинусам.

Если доопределить данную функцию так, чтобы при , то в результате получится нечетная функция, рассматриваемая на промежутке . Разложение в ряд Фурье такой функции содержит только синусы. При этом коэффициенты разложения можно вычислять по формуле: . В этом случае функция , заданная на промежутке , будет разложена по синусам.

Графически это можно представить следующим образом:

Из сказанного следует: заданную на промежутке функ­цию можно разлагать в ряд Фурье как по синусам, так и по ко­синусам.

Замечание 1. Нетрудно заметить, что как в случае разложения неперио­дической функции , определенной на отрезке , так и в случае ее разложения на отрезке периодическое продолжение заданной функции можно и не осуществлять. На это указывают формулы, из которых определяют­ся коэффициенты Фурье. Но чтобы не сделать ошибок, рекомендуется иметь эскиз графика функции с ее четным или нечетным продолжением на про­межутке и с последующим периодическим продолжением на всю чи­словую прямую.

Замечание 2. В случае разложения неперио­дической функции , определенной на отрезке периодическое продолжение производится аналогично функции, определенной на . Формулы, из которых определяют­ся ряд и коэффициенты Фурье, выбираются соответственно для нечетной функции: ,

для четной функции.

Пример 5. Разложить в ряд Фурье функцию по синусам.

Решение. Продолжив заданную функцию нечетным образом на промежуток , получим функцию, удовлетворяющую условиям Дирихле на отрезке длиной .

Найдем коэффициенты Фурье для этой функции. Так как она нечетна и, кроме того, симметрична относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов, ее ряд Фурье содержит только нечетные синусоиды: , .

Окончательно получаем .

Построим график S3(x)

Во многих задачах приходится разлагать в ряд Фурье функцию, заданную на промежутке . При этом функция на этом промежутке оказывается не только непрерывной, но и дифференцируемой. В этом случае мы можем разложить в ряд Фурье данную функцию, как по синусам, так и по косинусам. Спрашивается, какому разложению отдать предпочтение? Какой ряд будет обладать лучшими свойствами сходимости? Для практики решение этих вопросов имеет немаловажное значение.

Характер сходимости ряда Фурье определяется свойствами заданной функции в граничных точках и . Если функция в этих точках отлична от нуля, то периодическое продолжение ее по принципу нечетной функции приведет к разрыву в двух точкам и . Эти разрывы легко ликвидируются, если определить как четную функцию. По этой причине разложение в ряд по косинусам будет обладать гораздо лучшими свойствами сходимости, чем разложение по синусам. В этом случае коэффи­циенты ряда косинусов убывают со скоростью а коэффициен­ты ряда синусов - со скоростью .

Если теперь допустить, что в точках и при­нимает значения, равные нулю, то разложение в ряд по синусам дает гораздо лучшую сходимость, чем разложение в ряд по коси­нусам, так как периодическое продолжение функции по принципу нечетной функции обеспечивает непрерывность и самой функции и ее первой производной, в то время как периодическое продолжение по принципу четной функ­ции приводит к разрыву первой производной в точках и . В этом случае коэффициенты ряда синусов убывают со скоростью , подходящей для многих приложений рядов Фурье.

Вопросы для самопроверки

1. Запишите ряд Фурье для разложения функции, заданной на промежутке , по синусам и косинусам





Последнее изменение этой страницы: 2016-04-19; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.238.147.211 (0.012 с.)