Назовите наиболее распространенные системы базисных функций

Полных и ортогональных СБФ существует бесчисленное множество, поскольку различных декартовых систем координат, повернутых относительно друг друга в многомерном пространстве, может быть построено бесконечное множество. В связи с этим поиск наиболее подходящих СБФ – серьезная математическая и практическая задача и поэтому имеет смысл дать краткий обзор некоторых известных СБФ.

Определим основные свойства ряда непрерывных и дискретных СБФ, заданных на конечных интервалах определения. При этом дискретные СБФ будем получать в основном дискретизацией известных непрерывных систем.

1. Системы единичных функций:

а) Непрерывные СБФ

Два прямоугольных импульса, не перекрывающие друг друга, ортогональны. Поэтому система прямоугольных импульсов (рис), приставленных друг к другу и заполняющих интервал Т будет ортогональной системой. Такая система полна только для подмножества ступенчатых сигналов с шириной ступени Δ t. Если обозначить П(t) первый импульс, то можно записать

Система таких функций будет полна для любого непрерывного сигнала только при и .

 

В этом случае СБФ превращается в систему единичных импульсов, имеющих единичную амплитуду и бесконечно малую длительность.

К данной системе можно отнести также и интегральное представление, использующее в качестве базисных функций единичные импульсные функции – δ-функции:

Функция δ(x) обладает важными свойствами, благодаря которым она получила распространение в математике, физике и технике.

Из ее определения следует

Таким образом с помощью δ -функции можно выразить значение реального сигнала x(t) в конкретный момент времени.

Так как по определению равна нулю на всей оси t, кроме точки t=τ (где она бесконечно велика), то промежуток интегрирования можно сделать сколь угодно малым, лишь бы он включал в себя точку τ. В этом промежутке x(t) принимает постоянное значение x(τ), которое можно вынести за знак интеграла..

В математике соотношение () называется фильтрующим свойством δ -функции, в технике – стробирующее свойство.

Равенство () справедливо для любого текущего момента t. Заменив в нем τ на t и приняв в качестве переменной интегрирования τ получим

Таким образом, функция x(t) выражена в виде совокупности примыкающих к друг другу импульсов бесконечно малой длительности.

 

б) Дискретные СБФ получаются дискретизацией систем непрерывных СБФ

. Система дискретных единичных функций имеет вид единичного импульса бесконечно малой длительности и аналитически записывается в виде

Такая система определена на целочисленном интервале . В дискретных системах этот импульс играет такую же роль, как аналоговый единичный импульс - δ -функция Дирака.

Система дискретных единичных функций обладает тем свойством, что ее спектральный коэффициент с номером k совпадает со значением сигнала в точке i=k его интервала определения:

Подобным свойством обладает и непрерывная система . Это свойство единичной системы позволяет проиллюстрировать взаимосвязь представлений сигнала во временной области к спектральной области. В соответствии с ним представление в области аргумента можно рассматривать как частный случай спектрального представления в единичном базисе. Это позволяет получать результаты во временной области, используя более общие результаты в спектральной области.

 

Системы тригонометрических базисных функций

а) Непрерывные СТБФ является полной ортогональной системой с интервалом ортогональности [-π;π], либо [0, 2π]. Система является периодической и ненормированной.

Разложение периодической функции x(t) в ряд имеет вид:

Или где

Двоично – ортогональные СБФ

Под этим названием объединяются СБФ меандрового типа Радемахера, Уолша и Хаара.

Эти системы принимают только значение ± (функции Радемахера и Уолша) либо ±1 и 0 (функция Хаара). Все эти системы взаимосвязаны между собой и каждую из них можно получить из другой, образуя соответствующую линейную комбинацию.