Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2p

1. Пусть функция f (x) определена и интегрируема на отрезке
[-p,p]. Рядом Фурье функции f (x) называется ряд

, (16)

где

(17)

Числа называются коэффициентами Фурье функции f (x).

Теорема 7. Если функция f (x) кусочно-гладкая на отрезке [-p,p], т.е. f (x) и ее производная f ¢(x) – непрерывны на отрезке [-p,p] или имеют на нем конечное число точек разрыва первого рода, то ряд Фурье функции f (x) сходится в каждой точке отрезка [-p,p]. При этом сумма S (x), x Î[-p,p], ряда Фурье (16) равна
Здесь.

Сумма S (x) ряда Фурье (16) определена для x Î(-¥,+¥) и является 2p – периодической функцией.

Пример 1. Разложить функцию f (x)= e^x в ряд Фурье в интервале (-p,p). Построить график суммы ряда.

Решение. Вычислим коэффициенты Фурье функции по формулам (17), учитывая, что

Имеем:

Поскольку функция e^x и ее производная непрерывны на отрезке [-p,p], то по теореме 7 ряд Фурье этой функции сходится к самой функции e^x на интервале (-p,p):

а в точках x =±p сумма ряда равна. График суммы ряда изображен на рис. 1 (пунктиром – график самой функции e^x вне отрезка [-p,p]).

 

Если f (x) – четная функция на отрезке [-p,p], то ее коэффициенты Фурье находятся по формулам

, (18)

а ряд Фурье имеет вид: . Если f (x) – нечетная функция на отрезке [-p,p], то

, (19)

а ряд Фурье имеет вид: .

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию на отрезке [-p,p]. Построить график суммы ряда.

Решение. Поскольку функция четная, то находим по формулам (18), применяя интегрирование по частям:

Согласно теореме 7, ряд Фурье данной функции на отрезке [-p,p] сходится к самой функции x ²: (в точках x =±p сумма ряда совпадает со значением функции , так как . На рис. 1.2 изображен график суммы данного ряда (пунктиром - график самой функции x ² вне отрезка [-p,p].

 

3. Если функция f (x) задана на отрезке [0,p] и удовлетворяет на нем условиям теоремы 7, то ее можно разложить в ряды Фурье различным образом, например, как по косинусам, так и по синусам.

В первом случае продолжают f (x) с интервала (0,p) на интервал
(-p,0) четным образом: f (x)= f (- x), x Î(-p,0) (рис. 1.3), а коэффициенты Фурье вычисляют по формулам (18);

 

во втором – продолжают f (x) с интервала (0,p) на (-p,0) нечетным образом: f (x)=- f (x), x Î(-p,0) (рис. 1.4), а коэффициенты находят по формулам (19).

Пример3. Разложить функцию на интервале (0,p) в ряд Фурье по синусам.

Решение. Продолжим функцию x ² с интервала (0,p) на интервал (-p,0) нечетным образом и вычисляем коэффициенты по формулам (19):

Тогда

(Сравните разложение этой же функции x ² в ряд по косинусам, полученное в примере 2).

4. Если функция f (x) задана на отрезке [ a, a +2p], то ее коэффициенты Фурье вычисляются по формулам:

 

1.8. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2 l

Пусть функция f (x) определена и интегрируема на отрезке
[- l,l ]. Рядом Фурье функции f (x) называется ряд
,

где

 

Если f (x) – кусочно-гладкая функция на отрезке [- l,l ], то ее ряд Фурье сходится в каждой точке отрезка [- l,l ]. При этом сумма S (x), x Î [- l, l ], ряда Фурье равна

 

Пример 1. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию

Решение. Продолжим f (x) на интервале (-2,0) нечетным образом. Тогда ; при l =2 получаем:

 

Следовательно, разложение в ряд Фурье имеет вид:
.

2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕНЫХ

2.1. Определенный интеграл по фигуре.
Основные понятия и свойства

 

Пусть функция f(x,y,z) задана в точках тела W, на поверхности тела Т или кривой Г в декартовой системе координат Oxyz. Разобьем указанные фигуры на n частей D W_i, D T_i, D Г_i соответственно и на каждой из частей выберем по одной точке (x_i, y_i, z_i). Меры полученных частей разбиения обозначим через D V_i (обьем части), D S_i (площадь части) и D L_i (длина части) соответственно. Через обозначим наибольшее из расстояний между любыми двумя точками, взятыми на i -ой части разбиения, . Число , показывает, насколько мелко разбиты фигуры, и называется диаметром разбиения.

Составим теперь интегральные суммы:

;

;

.

Если существуют конечные пределы этих интегральных сумм при l ®0, причем эти пределы не зависят от способа разбиения фигур и от выбора точек на частях разбиения, то они называются определенными интегралами функции f(x,y,z) по названным фигурам:

- тройной интеграл;

- поверхностный интеграл I рода;

- криволинейный интеграл I рода.