Отыскание оригинала по изображению

При отыскании оригинала по изображению в простейших случаях используют таблицу изображений основных элементарных функций и теоремы разложения.

Вторая теорема разложения позволяет найти оригинал по известному изображению, являющемуся дробно-рациональной функцией , где и – многочлены от p соответственно степени m и n, причем . Если разложение на простейшие множители имеет вид , то, как известно, может быть разложена на сумму элементарных дробей вида . Итак,

(3.1)

Все коэффициенты могут быть найдены по формуле

(3.2)

Вместо этой формулы для определения коэффициентов можно использовать элементарные приемы, применяемые в математическом анализе при интегрировании рациональных дробей. Если все корни многочлена простые, разложение упрощается: ;

, где . (3.3)

После отыскания тем или иным способом разложения на простейшие дроби оригинал находится так:

а) в случае кратных корней знаменателя

; (3.4)

б) в случае простых корней знаменателя

. (3.5)

Пример 1. Найти оригинал , если известно, что .

Решение. У изображения в данном случае все корни знаменателя – действительные и простые. Поэтому лучше всего воспользоваться формулой (3.5). Имеем

.

Корни

Отсюда по формуле (3.5) находим : .

Пример 2. Найти оригинал по его изображению .

Решение. Разложение на простейшие дроби имеет вид

(3.6)

Находим коэффициенты по формуле (3.2)

Аналогично получим . Следовательно, . Отсюда по таблице изображений и теоремам смещения и линейности изображения имеем

Заметим, что коэффициенты разложения (3.6) можно найти и таким способом, который применялся в математическом анализе при интегрировании рациональных дробей.

3.4. Решение дифференциальных уравнений
и систем дифференциальных уравнений
операционным методом

Пусть дано линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) n -го порядка с постоянными коэффициентами

,

правая часть которого является оригиналом. Тогда и решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (то есть решение задачи Коши для данного ЛДУ), тоже будет оригиналом.

Обозначим изображение искомого решения через , то есть . Используя теорему о дифференцировании оригинала и свойство линейности, находим изображение левой части исходного ЛДУ и приравниваем его к . В итоге вместо ЛДУ с начальными условиями получается так называемое изображающее уравнение, которое является линейным алгебраическим уравнением относительно новой неизвестной функции . Решая изображающее уравнение, находим . Определяя затем по оригинал , мы тем самым найдем искомое решение задачи Коши. Аналогично решаются и системы ЛДУ.

Пример 1. Решить ЛДУ , если .

Решение. Обозначим . По теореме о дифференцировании оригинала имеем . Тогда изображающее уравнение таково: . Отсюда . Восстановим теперь оригинал . Разложим вначале дробь на простейшие дроби: . Ищем A, B, C: . Полагая , получаем , то есть ; полагая , получаем , откуда .
Следовательно, .

Решение поставленной задачи Коши найдено.

Пример 2. Решить систему ЛДУ , если .

Решение. Обозначим и найдем изображения левой и правой частей каждого из уравнений системы.

Из последней линейной алгебраической системы уравнений находим неизвестную (например, по формулам Крамера)

.

Разложим на простейшие рациональные дроби: . Для определения чисел A, B, C получаем равенство .

Подставляя в обе части равенства вместо p поочередно числа –1; 3 и 0, имеем . Отсюда Пользуясь таблицей изображений и свойством линейности изображения, найдем оригинал . Итак, , одна из искомых функций найдена. Функцию можно найти аналогично , предварительно определив ее изображение . Но в данном случае можно найти проще, выражая из первого уравнения исходной системы ЛДУ

Задача решена.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

 

Пользуясь известными признаками сходимости, исследовать на сходимость ряды.

1. а) б)

2. а) б)

3. а) б)

4. а) б)

5. а) б)

6. а) б)

7. а) б)

8. в) б)

9. а) б)

10. а) б)

11. а) б)

12. а) б)

13. а) б)

14. а) б)

15. а) б)

16. а) б)

17. а) б)

18. а) б)

19. а) б)

20. а) б)

Найти область сходимости степенного ряда.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

35. 36.

37. 38.

39. 4 0.

41-50. С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить определенный интеграл с точностью до e=0,001.

41. 42.

43. 44.

45. 46.

47. 48.

49. 50.