Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь FAQ Написать работу КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Кафедра высшей математики № 1↑ Стр 1 из 5Следующая ⇒ Содержание книги Поиск на нашем сайте
Кафедра высшей математики № 1
Высшая математика
Методические указания и контрольная работа № 3
Минск БНТУ Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра высшей математики № 1
Высшая математика
Методические указания и контрольная работа № 3 для студентов-заочников машиностроительных специальностей
Минск БНТУ УДК 512.64 (075.8) ББК 22.1я7 В 93
С о с т а в и т е л и: А.Н. Андриянчик, В.А. Казакевич, Н.А. Микулик, Р е ц е н з е н т ы: А.Н. Исаченко, Н.И. Чепелев
Настоящие методические указания и контрольные задания предназначены для студентов-заочников второго курса машиностроительных специальностей БНТУ. Издание содержит программу по высшей математике, перечень рекомендуемой литературы, основные понятия по теории курса высшей математики, типовые примеры и контрольные задания. Студент должен изучить теоретический материал по учебнику, разобрать приведенные образцы решения типовых примеров и задач, а затем выполнить контрольные задания по номеру варианта, который совпадает с двумя последними цифрами зачетной книжки (шифра) для первой задачи контрольной работы; номера последующих задач варианта получаются от прибавления к номеру предыдущей задачи числа 20. Например, если шифр содержит две последние цифры 03, номер первой задачи будет 3, номер второй задачи – 23, третьей – 43 и т. д., т. е. номерами этого варианта будут: 3, 23, 43, 63. Если номер шифра больше 20, следует выполнить вариант, номер которого равен двум последним цифрам шифра минус 20. Например, если шифр содержит две последние цифры 31, номерами этого варианта будут: 11, 31, 51, 71.
© БНТУ, 2010
Учебное издание
Высшая математика
Методические указания и контрольная работа № 3 для студентов-заочников машиностроительных специальностей
составители: АНДРИЯНЧИК Анатолий Николаевич КАЗАКЕВИЧ Виктор Александрович МИКУЛИК Николай Александрович и др.
Ответственный за выпуск О.В. Дубовик Подписано в печать 14.06.2010. Формат 60´841/16. Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 4,53. Уч.-изд. л. 3,54. Тираж 500. Заказ 494. Издатель и полиграфическое исполнение: Белорусский национальный технический университет. ЛИ № 02330/0494349 от 16.03.2009. проспект Независимости, 65. 220013, Минск. Содержание ПРОГРАММА.................................................................. 4 1. РЯДЫ............................................................................ 5 1.1. Числовые ряды. Основные определения. 1.2. Достаточные признаки сходимости рядов 1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная 1.4. Функциональные ряды. Область сходимости 1.5. Разложение функции в ряд Тейлора................... 17 1.6. Применение степенных рядов в приближенных 1.7. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2p 24 1.8. Ряд Фурье функции, заданной на отрезке длиной 2 l 29 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ................................ 31 2.1. Определенный интеграл по фигуре. 2.2. Вычисление двойных и тройных интегралов 2.3. Замена переменных в кратном интеграле.......... 39 2.4. Криволинейные интегралы I и II рода............... 46 2.5. Поверхностные интегралы I и II рода................ 48 2.6. Вычисление криволинейных интегралов I и II рода 49 2.7. Вычисление поверхностных интегралов I и II рода. 2.8. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса 54 3. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 59 3.1. Оригинал и его изображения.............................. 59 3.2. Основные теоремы операционного исчисления 60 3.3. Отыскание оригинала по изображению............ 62 3.4. Решение дифференциальных уравнений и систем КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3................................... 68 Рекомендуемая литература........................................... 77 ПРОГРАММА Ряды Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям. Ряды Фурье по тригонометрическим системам. Разложение функций в ряды Фурье. Условия поточечной сходимости и сходимости в среднем. Применение рядов Фурье. IИнтегральное исчисление функций Определенный интеграл по фигуре, его механический смысл. Свойства интегралов по фигуре. Вычисление кратных интегралов повторным интегрированием. Замена переменных в кратных интегралах. Вычисление криволинейных и поверхностных интегралов I и II рода, их приложения. Формулы Грина, Стокса, Остроградского-Гаусса. Элементы операционного исчисления Преобразование Лапласа. Теорема существования и единственности. Класс оригиналов и класс изображений. Основные теоремы операционного исчисления. Определение оригинала по изображению с помощью таблиц и второй теоремы разложения. Решение линейных дифференциальных уравнений и систем операционным методом. РЯДЫ 1.1. Числовые ряды. Основные определения. Выражение Суммы Если существует конечный предел , то ряд (1) называется сходящимся, а число S - его суммой. Если же не существует или =¥, то ряд называется расходящимся. Если в ряде отбросить первые k членов, то получится ряд Необходимый признак сходимости. Если ряд (1) сходится, то . (4) Следствие. Если , то ряд (1) расходится. Ряд называется гармоническим рядом. Для него , но ряд расходится. Признаки сравнения. Рассмотрим числовые ряды с неотрицательными членами ; (4) . (5) Теорема 1. Признак сравнения. Если, начиная с некоторого номера, выполняются неравенства , то из сходимости ряда (5) следует сходимость ряда (4), а из расходимости ряда (4) следует расходимость ряда (5). Теорема 2. Предельный признак сравнения. Если для всех и существует конечный предел , то ряды (4) и (5) сходятся или расходятся одновременно. Замечание. При использовании признаков сравнения часто применяется ряд , сходящийся при p > 1 и расходящийся при p £ 1 и ряд , сходящийся при и расходящийся при . Примеры. Исследовать на сходимость ряды и в случае сходимости найти сумму ряда. 1. . 2. . 3. 2 + 5 + 8 + 11 +.... Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда. В случае выполнения установить, сходится ли ряд с помощью признака сравнения. 4. . 5. . 6. . 7. .
1.2. Достаточные признаки сходимости рядов Для знакоположительных числовых рядов имеют место следующие достаточные признаки, по которым можно установить их сходимость или расходимость. 1. Признак Даламбера. Если для ряда Пример 1. Исследовать на сходимость ряды с помощью признака Даламбера: б) . Решение. 2. Радикальный признак Коши. Если для знакоположительного ряда (6) существует предел , то при q < 1 ряд сходится, при q > 1 - расходится. При q = 1 вопрос о сходимости ряда остается нерешенным. Пример 2. Исследовать сходимость рядов с помощью радикального признака Коши: Решение. 3. Интегральный признак Коши. Пусть f(x) - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, определенная при x ³ 1. Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно, где f(n) = un . Пример 3. Исследовать сходимость рядов с помощью интегрального признака Коши: Решение. Следовательно, данный ряд сходится. 1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная
Ряд (7) Теорема 3. Достаточный признак сходимости ряда (7). Если ряд (8) Ряд (7) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (8). Сходящийся знакопеременный ряд (7) называется условно сходящимся, если ряд (8) расходится. Ряд вида Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (9) удовлетворяют условиям: Примеры. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряды: а) ; б) ; в) . Решения. а) Ряд из модулей сходится по признаку сравнения, так как его члены не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда . Следовательно, исходный ряд сходится абсолютно. б) Условия признака Лейбница здесь выполнены: ряд - знакочередующийся, . Следовательно, этот ряд сходится. Ряд из модулей также сходится, то есть исходный ряд сходится абсолютно. Найдем сумму данного ряда с точностью 0,01. Для этого возьмем столько его членов, чтобы следующий член ряда был по модулю меньше 0,01. Тогда остаток ряда, начинающийся с этого члена, будет по модулю также меньше 0,01.Модуль четвертого члена , поэтому с точностью 0,01 имеем: . в) Данный знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница, так как .Этот ряд сходится условно, так как ряд ,составленный из модулей членов данного ряда, расходится (гармонический ряд).
1.4. Функциональные ряды. Область сходимости
Ряд вида , членами которого являются функции , называется функциональным. Множество всех действительных значений аргумента x, для которых функциональный ряд (10) становится сходящимся числовым рядом, называется областью сходимости этого ряда. Функция , где , а x принадлежит области Для определения области сходимости ряда (10) можно использовать известные признаки сходимости числовых рядов, считая x фиксированным. Функциональный ряд (10) называется равномерно сходящимся на промежутке p Ì R, если для любого e > 0 существует номер n o, не зависящий от x, что для всех n > n o и для всех x Î p выполняется неравенство , то есть , где Rn (x) – остаток ряда. Признак Вейерштрасса. Если | un (x)|£ Cn, (n =1,2,...) при и числовой ряд сходится, то функциональный ряд (10) сходится на отрезке [ a, b ] абсолютно и равномерно. Теорема 4. Если члены сходящегося ряда (10) имеют непрерывные производные при и ряд из производных сходится равномерно на [ a, b ], то ряд (10) можно дифференцировать почленно: Теорема 5. Если члены ряда (10) непрерывны на [ a, b ] и этот ряд сходится равномерно на отрезке [ a, b ], то ряд (10) можно
Степенным рядом называется функциональный ряд вида , (11) где Cn и a – действительные числа. Область сходимости степенного ряда (11) имеет один из следующих видов: (a - R, a + R), [ a - R, a + R), (a - R, a + R ], [ a - R, a + R ]. Число R называется радиусом сходимости, а интервал Вопрос о сходимости степенного ряда (11) в концевых точках области сходимости, то есть при x = a - R, x = a + R, исследуется особо (с применением известных признаков сходимости числовых рядов). Ряды, полученные почленным дифференцированием и интегрированием степенного ряда, имеют тот же радиус и интервал сходимости, и их сумма внутри интервала сходимости равна соответственно производной и интегралу от суммы первоначального ряда. Пример 1. Найти область сходимости ряда . Решение. При фиксированном x этот ряд – знакоположительный. Применим к нему признак Коши. Найдем предел ; l <1 - при < 1, т.е. при x < 0. При l = 1, т.е. при x = 0 данный функциональный ряд станет рядом . Общий член ряда при n ®¥ стремится к числу e, и поэтому ряд расходится (не выполнен необходимый признак сходимости). Итак, область сходимости данного ряда Пример 2. Можно ли почленно дифференцировать ряд в области его сходимости? Решение. Областью сходимости данного ряда является вся числовая ось R =(-¥, +¥), так как для любого x Î R верно неравенство , а ряд сходится. Члены исходного ряда имеют непрерывные производные , ряд из производных сходится равномерно на R по признаку Вейерштрасса. Действительно, верны неравенства , а ряд сходится. По теореме 4 исходный ряд можно почленно дифференцировать в области R его сходимости, т.е. Пример 3. Найти область сходимости степенного ряда . Решение. Находим радиус сходимости ряда. . Это означает, что исходный ряд сходится абсолютно при . Далее, исследуем сходимость ряда при x = ±1. Если x = 1, то данный ряд становится гармоническим рядом , который расходится. Пример 4. Найти сумму ряда . Решение. Обозначим искомую сумму ряда через S (x), т.е. . (12) Можно проверить, что исходный ряд при сходится абсолютно. Дифференцируем почленно равенство (12):
Пример 5. Найти сумму ряда
.
Решение. Обозначим эту сумму ряда через S (x), т.е.. Данное равенство перепишем так: S (x)= x × Q (x), где . Почленное интегрирование последнего равенства приводит к сумме членов убывающей геометрической прогрессии: Отсюда найдем Q (x): , поэтому искомая сумма S (x) такова: . Оригинал и его изображения
Функция действительного переменного t называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям: 1) при ; 2) существуют такие постоянные и , что для всех t; 3) при функция непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода на каждом конечном интервале оси Ot. Изображением функции по Лапласу называется функция комплексного переменного , определяемая равенством . Если – оригинал, интеграл в правой части последнего равенства сходится при . Тот факт, что является изображением оригинала , будем обозначать так: или .
Таблица 3.1 Изображение основных элементарных функций
Окончание табл. 3.1
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3
Кафедра высшей математики № 1
Высшая математика
|
||||||||||||||||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-04-21; просмотров: 252; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.15.195.84 (0.008 с.) |