Поверхностные интегралы I и II рода

 

а) Поверхностный интеграл I рода. Пусть F (x, y, z) - непрерывная функция и z = f (x, y) - гладкая поверхность S, где f (x, y) задана в некоторой области D плоскости xOy. Поверхностным интегралом I рода называется предел интегральной суммы при условии, что max d_k ®0:
,
где - площадь k -го элемента поверхности S, точка принадлежит этому элементу, d_k - диаметр этого элемента, F (x, y, z) определена в каждой точке поверхности S.

Значение этого интеграла не зависит от выбора стороны поверхности S, по которой производится интегрирование.

Если проекция D поверхности S на плоскость xOy однозначна, то соответствующий поверхностный интеграл I рода вычисляется по формуле
.

б) Поверхностный интеграл II рода. Пусть в декартовой системе координат Oxyz задана двусторонняяя поверхность S. Выберем определенную сторону поверхности S, задав определенное направление единичного вектора нормали , точка (x, y, z)Î S. И пусть в точках поверхности S определена вектор-функция с координатами P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z). Сделав разбиение S на n частей T_i с площадямит S_i, составим интегральную сумму вида
,
где (x_i, y_i, z_i)Î T_i; означает скалярное произведение векторов и .

Поверхностным интегралом II рода от вектор-функции по выбранной стороне поверхности S называется предел интегральной суммы s _n при l®0 (l - диаметр разбиения), если этот предел существует; конечен, не зависит от способа разбиения и от выбора точек (x_i, y_i, z_i). Обозначение:

 

Физический смысл. Указанный интеграл выражает массу жидкости единичной плотности, протекающей через поверхность S в направлении вектора нормали со скоростью за единицу времени, то есть так называемый поток вектор-функции (или векторного поля) через S в направлении .

 

2.6. Вычисление криволинейных интегралов
I и II рода

 

Пусть функция f (x, y, z) определена и непрерывна в точках дуги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если уравнение дуги АВ задано параметрическими уравнениями

 

x = x (t), y = y (t), z = z (t), (t ₀£t£ t ₁),

 

то

 

(2.15)

 

В случае плоской кривой АВ

 

. (2.16)

 

Механический смысл криволинейного интеграла I рода: если f (x, y, z)>0, то представляет собой массу кривой, имеющей переменную линейную плотность m(r)= f (x, y, z).

Пример 1. Вычислить массу отрезка прямой, заключенного между точками А (0;-2), В (4;0), если .

Решение. Найдем уравнение прямой АВ: y =0,5 x -2; тогда .

Отсюда .

Пусть функции P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z) непрерывны в точках дуги АВ кусочно-гладкой пространственной кривой. Если уравнение дуги АВ задано параметрически x = x (t), y = y (t), z = z (t), (t ₀£t£ t ₁), то
(2.17)
В случае плоской кривой АВ
(2.18)

Пример 2. Найти работу силы вдоль части кривой (линия пересечения поверхностей и ) от точки до точки .

Решение. . – параметрическое задание пути . По формуле (2.17)

Пример 3. Вычислить работу силы вдоль части кривой . Движение от точки A к точке B – по ходу часовой стрелки.

Решение. – параметрическое задание части кривой (j в роли параметра t). По формуле (2.18)

.

 

2.7. Вычисление поверхностных интегралов I и II рода.
Связь между ними

 

а) Поверхностный интеграл I рода (ПОВИ-1). Если поверхность Т задана уравнением z = z (x, y), (x, y)Î D Ì Oxy, причем z (x, y) имеет непрерывные частные производные, а проекция D поверхности Т на плоскость Oxy имеет кусочно-гладкую границу, и если в точках поверхности Т задана непрерывная функция f (x, y, z), то интеграл от f (x, y, z) по площади поверхности Т (I рода) существует и вычисляется по формуле:

(2.19)

 

(Справа в этой формуле стоит двойной интеграл).

Аналогичные формулы можно получить, проектируя поверхность T на другие координатные плоскости.

б) Поверхностный интеграл II рода (ПОВИ-2). Если поверхность Т задана так же, как в предыдущем пункте а), то поверхностный интеграл II рода существует и сводится к двойному интегралу по проекции D поверхности Т на плоскость Oxy следующим образом:

 

. (2.20)

 

Знак “+” в формуле (2.20) берется, если нормаль к выбранной стороне поверхности Т образует острый угол с осью Oz; знак “-” - в случае тупого угла.

Формулы, аналогичные (2.20), имеют место и для поверхностных интегралов II рода таких, как: . При этом нужно спроектировать поверхность Т на плоскости Oyz и Ozx соответственно.

в) Связь между ПОВИ-1 и ПОВИ-2). Имеет место формула

 

(2.21)

 

связывающая поверхностные интегралы II рода (слева) и I рода (справа). Здесь a, b, g есть углы, образованные с осями Ox, Oy, Oz нормалью к выбранной стороне поверхности Т в точке (x, y, z).

Пример1. Вычислить массу плоской пластины Т: , расположенной в I октанте (рис. 2.17) и имеющей поверхностную плотность .

Решение. Уравнение поверхности Т:
(x, y)Î D есть проекция Т на плоскость Oxy. По формуле (2.19):

где S_D – площадь фигуры D. А так как D – это D OAB, то – . Итак, (кг).

Пример 2. Вычислить поток П векторного поля ( - единичный направляющий вектор оси Oz) через верхнюю сторону нижней половины сферы Т: .

Решение. Уравнение нижней полусферы:

. Нормаль к выбранной стороне образует острый угол с Oz, поэтому по формуле (2.20) имеем:
.

Здесь D – проекция Т на плоскость Oxy есть круг . Пе-

 

рейдем в последнем двойном интеграле к полярным координатам x = r cosj, y = r sinj, 0£j£2p, 0£ r £ R. В итоге: