Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

 

Пусть f (x) - четная 2p-периодическая функция. Тогда является нечетной, а - четной функцией. Следовательно, , . Согласно формулам - для коэффициентов ряда Фурье получаем

, , b_n = 0,

т.е. ряд Фурье для четной функции имеет вид

.

Аналогично, если f (x) - нечетная 2p-периодическая функция, то - нечетная, а - четная функция. В этом случае имеем:

а ₀ = 0, а_n = 0, ,

а ряд Фурье для нечетной функции имеет вид

.

Таким образом, четная 2p-периодическая функция разлагается в ряд Фурье только по косинусам, а нечетная 2p-периодическая функция раскладывается в ряд Фурье только по синусам.

 

Пример 10.15.1. Разложить в ряд Фурье 2p-периодическую функцию , заданную на [-p, p].

Решение. Функция - четная, поэтому b_n = 0.

.

. Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид

.

Так как функция кусочно-монотонна, ограничена и непрерывна, то это равенство выполняется во всех точках.

Полагая х = p в этом равенстве, получим

Þ Þ

. Мы нашли сумму обобщенного гармонического ряда для р = 2, .

Полагая х = 0, получаем:

 

 

10.16. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на

 

Пусть f (x) есть периодическая функция с периодом , вообще говоря, отличным от 2p. Разложим ее в ряд Фурье.

Сделаем замену переменной по формуле

.

Тогда функция будет периодической функцией от t с периодом 2p. Действительно,

.

Ее можно разложить в ряд Фурье на [-p, p]:

,

где

, , .

Вернемся теперь к старой переменной х:

, , .

Тогда будем иметь

, , ,

а формула примет вид

.

Если f (x) - четная функция, то

b_n = 0, , ;

если же f (x) - нечетная функция, то

а ₀ = 0, а_n = 0, .

 

Пример 10.16.1. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f (x) с периодом , которая на задается равенством .

 

 

Решение. Все условия теоремы Дирихле выполняются. Так как функция четная, то b_n = 0,

,

.

Следовательно,

.

Пусть х = 0, Þ .

 

О разложении в ряд Фурье непериодических функций

Пусть функция f (x) задана на [0, p]. Чтобы разложить f (x) на этом отрезке в ряд Фурье, доопределим ее на отрезке [-p, 0]. В результате получим функцию, заданную на всем отрезке [-p, p], которую уже можно разложить в ряд Фурье. Ясно, что получившийся ряд будет зависеть от характера продолжения первоначальной функции на [-p, 0]. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если продолжить (доопределить) f (x) четным образом с отрезка [0, p] на отрезок [-p, 0] (рис.10.17.1), то получим четную функцию, которая, как известно, раскладывается в ряд Фурье только по косинусам.

2. Аналогично, продолжая f (x) нечетным образом с отрезка [0, p] на отрезок [-p, 0] (рис.10.17.2), то получим нечетную функцию, разлагающуюся в ряд Фурье только по синусам.

 

 

Вопросы к экзамену по модулю №10

 

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда.

2. Простейшие действия над рядами. Необходимый признак сходимости. Гармонический ряд.

3. Ряды с положительными членами. Теоремы сравнения.

4. Признаки сходимости Даламбера и Коши.

5. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница.

6. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

7. Функциональные ряды. Область сходимости.

8. Степенные ряды. Теорема Абеля.

9. Интервал и радиус сходимости степенных рядов.

10. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов.

11. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточные условия разложения функций.

12. Разложение в ряд Маклорена , sin x, cos x, .

13. Приложения рядов к приближенному вычислению значений функций и определенных интегралов.

14. Приложения рядов к решению дифференциальных уравнений.

15. Ряд Фурье. Коэффициенты Фурье. Теорема Дирихле.

16. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций, заданных на (-p, p).

17. Разложение в ряд Фурье -периодических функций.

18. О разложении в ряд Фурье непериодических функций.