Тригонометрические ряды Фурье

а) Ряд Фурье по ТС (1.4)

Теорема 1. (Дирихле). Если - периодическая функция с Т = 2 l, кусочно-гладкая на (на этом интервале f (x) и имеют не более конечного числа точек разрыва, притом лишь первого рода), то тригонометрический ряд Фурье по ТС (1.4) для f (x)

, (3.1)

где

, n =1,2,3…(3.2)

сходится к f (x), если x – точка непрерывности f (x) и к , если x – точка разрыва f (x), где и - соответственно левый и правый пределы f (x) в точке x:

- называются коэффициентами Фурье.

Функция , совпадающая с в и удовлетворяющая условию , называется периодическим продолжением на всю ось Ox.

В ряд Фурье можно разложить и непериодическую кусочно-гладкую функцию, заданную лишь в интервале , вычисляя коэффициенты по формулам (3.2). Полученный ряд будет сходиться на всей числовой оси, а его суммой будет - периодическое продолжение на ось Ox.

При вычислении коэффициентов Фурье в формулах (3.2) интервал интегрирования можно заменить любым интервалом длины 2 l.

б) Неполные ряды Фурье.

Если - четная функция, то

. (3.3)

Ряд Фурье примет вид: .

Если - нечетная функция, то (3.4)

и ряд Фурье принимает вид .

в) Функцию , кусочно –гладкую в интервале , можно разложить в ряд Фурье только по косинусам или по синусам. Для этого достаточно продолжить четным или соответственно нечетным образом на интервал и для полученной на функции составить ряд Фурье. Коэффициенты Фурье будут при этом вычисляться по формулам соответственно (3.3) или (3.4).

г) Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье для , периодической с Т = 2 l, а также для , заданной на имеет вид

, .

Связь между и следующая:

; ; ; .

Пример. Разложить в ряд Фурье периодическую (с периодом ) функцию , определенную равенствами:

Ñ Начертим график заданной функции:

 

 

Рис.1.

является кусочно-гладкой на , периодической с . Ряд Фурье будет иметь вид: ;

.

Запишем ряд Фурье:

(сумма ряда записана в соответствии с теоремой 1: в точках непрерывности ряд Фурье сходится к , а в точках разрыва - к среднему арифметическому односторонних пределов в этих точках).#

Пример. Разложить в ряд Фурье по косинусам на отрезке [0,2].

Ñ Продолжим четным образом на [-2,0], а затем построим периодическое продолжение функции, заданной на [-2,2] на всю ось Ox:

Рис.2.

Получим непрерывную на функцию; l = 2.

Ряд Фурье имеет вид: ;

.

Ряд Фурье: #

Пример. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию , определенную для равенством .

Ñ Построим график данной функции.

Рис. 3.

Функция является кусочно- гладкой на , следовательно, ее можно разложить в ряд Фурье, который будет иметь вид: .

.

Ряд Фурье: #

Задачи для самостоятельного решения

1. Разложить в ряд Фурье на функцию: ;

2. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , определенную на равенствами

3. Разложить в ряд Фурье на .

4. Разложить в интервале по синусам . Полученное разложение использовать для суммирования числовых рядов

а) б)

5. Дана функция . Разложить ее в ряд Фурье а) в ; б) в ;
в) в по синусам, г) в интервале так, чтобы сумма ряда тождественно равнялась нулю для всех .

6. Разложить в ряд Фурье на [-1;1].

7. Разложить в ряд Фурье на [0,3].

8. Разложить в ряд Фурье по косинусам на [0;2].

9. Доказать справедливость равенства .

10. Представить рядом Фурье в комплексной форме периодическую функцию , определенную для равенством .
Воспользовавшись полученным рядом Фурье в комплексной форме, записать в действительной форме ряд Фурье этой функции.

11. Разложить в ряд Фурье (c периодом ) в комплексной форме:

12. Разложить в ряд Фурье на .

13. Разложить в ряд Фурье на .

ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУРЬЕ

Теорема 2. Если - 1) абсолютно интегрируемая на функция, т.е. удовлетворяющая условию ; 2) кусочно-гладкая на каждом конечном отрезке, то ее интеграл Фурье

(4.1)

где (4.2)

(4.3)

равен в каждой точке непрерывности и в каждой точке разрыва .

Если - четная, то

, (4.4)

Если - нечетная, то

; (4.5)

Для представления интегралом Фурье функции, заданной лишь в промежутке и продолженной четным образом на , используем формулы (4.4), а продолженной нечетным образом – формулы (4.5).

Если и , найденные по формулам (4.4), подставить в (4.1), то получим двойной интеграл Фурье для четной функции :

Положив

, (4.6)

получим

(4.7)

Равенство (4.6) называется косинус – преобразованием , а (4.7) – косинус – преобразованием .

Аналогично, если - нечетная, то

(4.8)

называется синус - преобразованием , а

(4.9)

называется синус - преобразованием .

Комплексная форма интеграла Фурье имеет вид

(4.10)

где

(4.11)

Связь между и :

Функция называется спектральной характеристикой функции . называется спектром функции .

Функция называется также преобразованием Фурье функции , в этом случае ее обычно обозначают

Пример. Представить интегралом Фурье функцию

Ñ Построим график данной функции.

Рис.4.

Данная функция 1) имеет 2 точки разрыва I рода ; 2) абсолютно интегрируема на всей оси Ox: . 3) данная функция – четная, поэтому на основании (4.4) .

Данная функция является непрерывной в интервалах ; (-1,1); , кроме того, в точках разрыва среднее арифметическое односторонних пределов функции совпадает со значением ее в этих точках, поэтому можно записать интеграл Фурье . #

Пример. Показать, что спектральной характеристикой функции

, является функция . Построить график спектра .

Ñ Построим график данной функции.

Рис.5.

Найдем по формуле (4.11) .

Спектр - это . .

Построим график .

Рис. 6. #

Задачи для самостоятельного решения

В задачах № 14 – 17 представить интегралом Фурье следующие функции:

14. 15.

16. 17.

18. Функцию , представить интегралом Фурье, продолжая ее 1) четным образом, 2) нечетным образом на промежуток . Найти значения интегралов и .

19. Используя результат задачи 18, представить интегралами Фурье функции

1) ; 2) .

 

20. Написать интеграл Фурье в комплексной форме для функций

1) , 2) .

21. Вычислить спектр прямоугольного импульса высотой h и длительностью и построить график спектра.

Рис. 7.

22. Записать преобразование Фурье для следующих функций:

1) ; 2) .

Ответы к задачам главы 13

1. .

2.

3. 4. ; а) б)

5. а) б)

в)

г)

6. 7.

8.

10. ;

11. 12. 13.

14. 15.

16. 17.

18. 1) 2)

19. 1) 2)

20. 1) 2)

21.

22. 1) ; 2) .