Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье

 

Функциональный ряд вида

или ряд вида

,

называется тригонометрическим рядом. Постоянные числа , называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Если ряд сходится, то его сумма есть периодическая функция с периодом 2p, так как и cos nx являются периодическими функциями с периодом 2p.

Пусть периодическая с периодом 2p функция f (x) такова, что она представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в интервале (-p, p), т.е. является суммой этого ряда

.

Предположим, что интеграл от функции f (x) равняется сумме интегралов от членов ряда. Это, например, будет выполняться, если предположить, что числовой ряд

сходится. Тогда ряд мажорируем и, следовательно, его можно интегрировать в промежутке (-p, p). Используем это для вычисления коэффициента а ₀.

Проинтегрируем обе части равенства в пределах от -p до p:

.

,

, так как для любого n =1, 2, ….

, так как .

Следовательно, , откуда

.

Неизвестные коэффициенты a_n и b_n можно найти по следующим формулам (вывод этих формул можно найти в любом учебнике по высшей математике)

,

.

Коэффициенты, определенные по формулам -, называются коэффициентами Фурье функции f (x), а тригонометрический ряд с такими коэффициентами называется рядом Фурье функции f (x).

Выясним, далее, вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный для нее ряд Фурье сходился и чтобы сумма этого ряда равнялась значениям данной функции в соответствующих точках?

 

Определение 10.14.1.Функция f (x) называется кусочно-монотонной на [ a, b ], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х ₁, х ₂, …, х_{n -1} на интервалы (а, х ₁), (х ₁, х ₂), …, (х_{n -1}, b), в каждом из которых функция монотонна, т.е. либо невозрастающая, либо неубывающая.

Из этого определения следует, что если функция f (x) кусочно-монотонная и ограниченная на [ a, b ], то она может иметь только точки разрыва первого рода. Действительно, если х = С есть точка разрыва функции f (x), то в силу ее монотонности и ограниченности существуют конечные пределы , .

Замечание.В некоторых учебниках функцию f (x), определенную на [ a, b ], называют кусочно-гладкой (кусочно-дифференцируемой), если она и ее производная имеют не более конечного числа точек разрыва, и притом лишь первого рода, т.е. если функция кусочно-монотонная и ограниченная, то она кусочно-гладкая.

Сформулируем теперь следующую теорему.

 

Теорема 10.14.1(Дирихле). Если периодическая функция с периодом 2p кусочно-монотонная и ограниченная на [-p, p], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда S (x) равна значению функции f (x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции f (x) сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции f (x) слева и справа, т.е., если х = С – точка разрыва первого рода функции f (x), то

.

Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных разделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и ее приложениях к конкретным задачам механики и физики.

Рассмотрим пример разложения функции в ряд Фурье.

 

Пример 10.14.1. Периодическая с периодом 2p функция

 

Очевидно, что функция кусочно-монотонная и ограниченная, т.е. удовлетворяет всем условиям теоремы Дирихле.

Определим коэффициенты Фурье:

;

.

.

Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид:

.

В точках разрыва сумма ряда

.

Полагая в полученном равенстве х =0, получаем

, откуда

.

Ранее мы доказывали, что такой числовой ряд сходится (его можно считать обобщенным гармоническим рядом, где ), а сейчас при помощи ряда Фурье нашли его сумму .

Так как по предположению f (x) - 2p-периодическая функция, то отрезок интегрирования [-p, p] в формулах - может быть заменен произвольным отрезком [ а, а+ 2p] длиной 2p. Тогда коэффициенты Фурье могут быть вычислены по формулам:

,

,

.