Тригонометрический ряд Фурье

 

С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.

Определение 4.1. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида

, (4.3)

где действительные числа называются коэффициентами ряда.

Свободный член ряда записан в виде для единообразия получающихся в дальнейшем формул.

Приведем формулы, которые помогут найти коэффициенты ряда (4.3) .

Считая и целыми положительными числами, находим:

(1) Если , то ;

Если , то .

(2) При любом .

(3) Если , то

Если , то

.

 

(4) При любых и

(5) Если , то

Если , то

.

Замечания.

1. Формулы (1) – (5) показывают, что семейство функций

обладают свойством ортогональности: интеграл от произведения любых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину , равен нулю.

1. Формулы (1) – (5) справедливы и в случае, когда область интегрирования есть отрезок .

 

Пусть - произвольная периодическая функция с периодом . Предположим, что функция разлагается в тригонометрический ряд, т.е. является суммой ряда:

. (4.4)

Так как функция (и сумма ряда) имеет период , то ее можно рассматривать в любом промежутке длины . В качестве основного промежутка возьмем отрезок (также удобно взять отрезок ) и предположим, что ряд (4.4) на этом отрезке можно почленно интегрировать. Вычислим коэффициенты и . Для этого проинтегрируем обе части равенства (4.4) в пределах от до .

.

Интегралы от всех, кроме нулевых членов ряда равны нулю в силу формул (1) и (2).

Отсюда

. (4.5)

 

Умножив обе части равенства (4.4) на и проинтегрировав полученный ряд в пределах от до , получаем:

В силу формул (1), (3) и (4) из последнего равенства при получаем:

.

Отсюда

. (4.6)

 

Аналогично, умножив равенство (4.4) на и проинтегрировав почленно на отрезке , найдем:

. (4.7)

 

Итак, заранее предполагая, что функция может быть разложена в тригонометрический ряд (4.4), мы сумели найти все его коэффициенты.

Определение 4.2. Ряд вида:

называется рядом Фурье функции .

Коэффициентами Фурье функции называются числа и определяемые формулами

, , где .

 

Разложение в ряд Фурье

-периодических функций

 

Выясним условия, при которых ряд Фурье функции сходится и имеет своей суммой как раз функцию .

Будем рассматривать функции , имеющие период . Такие функции называются - периодическими.

Сформулируем теорему (без доказательства), представляющую достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье.

 

Теорема 4.1 (теорема Дирихле). Пусть -периодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:

1. кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва I рода;

2. кусочно-монотонна, т.е. монотонная на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.

Тогда соответствующей функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:

1. в точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией , т.е. ;
2. в каждой точке разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому пределов функции справа и слева, т.е.

;

3. в точках и (на концах отрезка) сумма ряда равна

.

 

Таким образом, если функция удовлетворяет условиям 1 и 2 теоремы Дирихле, то на отрезке имеет место разложение (4.4), причем коэффициенты вычисляются по формулам (4.5) - (4.7). Это равенство может нарушиться только в точках разрыва функции и на концах отрезка .

В силу периодичности функции и суммы ряда Фурье может быть получено указанное разложение во всей области определения функции.

Если функция с периодом на отрезке удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, то для нее имеет место разложение (4.4), где коэффициенты вычисляются по формулам (4.5) - (4.7).

Надо отметить, что условиям теоремы Дирихле удовлетворяют большинство функций, встречающихся в математике и ее приложениях. Существуют функции, не удовлетворяющие условиям теоремы Дирихле, но при этом их можно разложить в ряд Фурье, т.е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости, но не необходимое.

 

Пример 4.1. Разложить в ряд Фурье функцию с периодом , заданную на отрезке формулой:

Решение. Построим график функции :

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Значит, ее можно разложить в ряд Фурье.

Находим коэффициенты ряда:

.

 

.

 

Исходной функции соответствует ряд Фурье:

,

или

.

В точках разрыва первого рода сумма ряда равна:

.

В точках сумма ряда равна:

.

График имеет вид:

,

 

Разложение в ряд Фурье

Четных и нечетных функций

 

Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция является четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится так называемым неполным).

 

Допустим, что разлагаемая в ряд Фурье функция - четная. Тогда функции будут нечетными и все коэффициенты , как интегралы от нечетных функций по интервалу , симметричному относительно начала координат, окажутся равными нулю. Функции будут четными.

Итак, если функция - четная, то ряд Фурье имеет вид (состоит из одних косинусов):

, (4.8)

где , , .

 

Допустим, что разлагаемая в ряд Фурье функция - нечетная. Тогда функции будут нечетными и все коэффициенты , как интегралы от нечетных функций по интервалу , симметричному относительно начала координат, окажутся равными нулю. Функции будут четными.

Итак, если функция - нечетная, то ряд Фурье имеет вид (состоит из одних синусов):

, (4.9)

где , .

Ряды (4.8) и (4.9) называются неполными тригонометрическими рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.

 

Пример 4.2. Разложить в ряд Фурье функцию , .

Решение. Построим график функции :

Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Значит, ее можно разложить в ряд Дирихле.

Функция − нечетная. Следовательно, .

Находим коэффициент .

.

 

Таким образом,

,

или

.

В точках сумма ряда равна:

.

График имеет вид:

,

 

Разложение в ряд Фурье