Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

 

1. Способ последовательного дифференцирования

 

При решении задачи Коши

,

используется ряд Тейлора

,

где , а остальные производные находятся путем последовательного дифференцирования уравнения и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Надо отметить, что способ последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

 

Пример 3.12. Найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения

, если .

Решение. Находим решение дифференциального уравнения (при ) в виде

.

.

.

Далее находим производные высших порядков и значения производных при .

. Тогда .

. Тогда .

. Тогда .

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получаем:

.

,

1. Способ неопределенных коэффициентов

 

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнение

с начальными условиями .

Предполагая, что коэффициенты и свободный член разлагаются в ряды по степеням , сходящиеся в некотором интервале , искомое решение находится в виде степенного ряда

с неопределенными коэффициентами.

При помощи начальных условий находим коэффициенты и . Для нахождения последующих коэффициентов степенной ряд дифференцируем два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции и ее производных в исходное уравнение, заменив в нем , их разложениями. В результате получаем тождество, из которого методом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффициенты.

Построенный степенной ряд сходится в том же интервале и является решением исходного уравнения.

 

Пример 3.13. Найти решение уравнения

.

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение. Разложим коэффициенты уравнения и при в степенные ряды

,

.

Решение исходного дифференциального уравнения находим в виде степенного ряда

.

Тогда

,

.

Из начальных условий находим: . Подставляем полученные ряды в дифференциальное уравнение:

 

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях :

,

,

,

,

,

……………………………

 

Отсюда находим, что , , , , …. Таким образом, получаем решение уравнения в виде

,

т.е. .

,

4. РЯДЫ ФУРЬЕ

 

Периодические функции.

Периодические процессы

 

При изучении разнообразных периодических процессов, т.е. процессов, которые через определенный промежуток времени повторяются (они встречаются в радиотехнике, электротехнике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т.д.), целесообразнее разлагать периодические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция , определенная на множестве , называется периодической с периодом , если при каждом значение и выполняется равенство .

 

Для построения графика периодической функции периода достаточно построить его на любом отрезке длины и периодически продолжить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и тот же период , есть периодическая функция с периодом .
2. Если функция имеет период , то функция имеет период .
3. Если функция имеет период и интегрируема на отрезке , то при любых и .

 

Простейшими периодическими функциями являются тригонометрические функции и . Период этих функций равен .

 

Простейшим периодическим процессом (движением) является простое гармоническое колебание (движение), описываемое функцией

, (4.1)

где , - амплитуда колебания, - частота, - начальная фаза.

 

Функция такого вида и ее график называют простой гармоникой. Основным периодом функции (4.1) является . показывает, сколько колебаний совершает точка в течение единиц времени.

Проведем преобразования функции (4.1):

,

или

, (4.2)

где . Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями и .

Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате наложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также описывается функциями вида и .

Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармоник вида (4.1) или (4.2)? Если да, то, как найти неизвестные параметры (коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй вопрос, а потом и на первый.