Теорема о существовании и единственности решения ЛДУ.

Основные понятия

Определение. Уравнение вида

линейное относительно функции и ее производных называется линейным дифференциальным уравнением -го порядка (ЛДУ).

Здесь – известные функции, определенные на и называемые коэффициентами уравнения. Не ограничивая общности, можно считать коэффициент при старшей производной равным единице. Действительно, в противном случае можно разделить обе части уравнения на в . В результате получим уравнение вида

. (1)

Теорема о существовании и единственности решения ЛДУ.

Если коэффициенты уравнения и являются непрерывными на , то уравнение (1) имеет единственное решение , определенное на том же отрезке и удовлетворяющее начальным условиям:

,

где .

Определение. Если в уравнении (1) , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). В противном случае, оно называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Запишем уравнение (1) кратко в виде , где

.

называется линейным дифференциальным оператором. Он показывает, какие действия надо произвести над , чтобы получить левую часть уравнения (1).

 

Свойства линейного дифференциального оператора

1) Постоянный множитель можно выносить за знак линейного дифференциального оператора, то есть .

2) Линейный дифференциальный оператор от суммы функций равен сумме

линейных дифференциальных операторов от слагаемых, то есть

.

При доказательстве этих свойств пользуемся соответствующими свойствами производной. Например, докажем первое свойство:

► . ◄

 

Общие свойства линейных дифференциальных уравнений

Отметим следующие два свойства ЛДУ: инвариантность ЛДУ относительно произвольной замены независимой переменной и относительно линейной замены искомой функции.

1. Линейное уравнение остается линейным при любой замене независимой переменной.

► Положим , где – произвольная функция от , непрерывно-дифференцируемая на раз, производная которой на , причем . Эти условия будут обеспечивать существование обратной функции и ее производной

.

Чтобы в уравнении (1) заменить независимую переменную другой независимой переменной , надо выразить все производные от по через производные от по .

Находим

,

.

Вторая производная от по заменяется функцией линейной и однородной относительно производных от по , содержащей производные не выше 2-го порядка. ММИ можно убедиться, что любая производная -го порядка выразится в виде линейной и однородной функции, зависящей от

.

Заменяя в уравнении (1) через , а производные от по соответствующими выражениями, и умножая обе части полученного уравнения на , получим уравнение -го порядка, линейное, с новым аргументом . При этом однородное уравнение будет преобразовано в однородное уравнение.

Если удастся найти общее решение преобразованного уравнения, то заменяя в нем через , мы получим решение исходного уравнения. ◄

2. Линейное уравнение остается линейным при любой линейной замене искомой функции по формуле , где – произвольная функция, -раз непрерывно-дифференцируемая, а – новая искомая функция.

► Используя формулу Лейбница для производных высших порядков от произведения функций, запишем, каким выражением будут заменяться

производные

.

Замечаем, что является линейной однородной функцией относительно

. Поэтому, заменяя функцию и ее производные по соответствующим формулам, получим линейное уравнение -го порядка, причем, если исходное уравнение было однородным, то преобразованное уравнение также будет однородным. ◄

 

Линейные однородные дифференциальные уравнения

С переменными коэффициентами

 

О решениях ЛОДУ

Теорема 1.

Если – решения ЛОДУ (1), то любая линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными

,

также является решением уравнения (1).

► Рассмотрим .

Так как , то , а поэтому – решение уравнения (1). ◄

Пусть мы нашли частных решений ЛОДУ -го порядка. Тогда по теореме 1 (2), где – произвольные постоянные, также есть решение уравнения (1). Известно, что общее решение уравнения -го порядка содержит произвольных постоянных. Возникает вопрос, будет ли решение , составленное из любых частных решений, общим решением уравнения (1).

Убедимся в том, что решение, составленное из любых частных решений,

не всегда будет общим. Например, если возьмем , то функция (2) в этом

случае примет вид . Так как есть произво-

льная постоянная, которая может быть обозначена просто через , то функция будет содержать произвольных постоянных и поэтому не является общим решением. Ясно, что функция (2) не всегда дает общее решение. Возникает вопрос, какими функциями должны быть частные решения, чтобы формула (2) давала общее решение. Этот вопрос разрешается в связи с понятием линейной зависимости функций.

 

Пример.

1. Функции линейно зависимы на . Действительно, существуют постоянные такие, что имеет место тождество .

2. Функции линейно независимы на , так как условие

не может выполняться тождественно, когда не все . Действительно, это равенство есть алгебраическое уравнение, оно может быть справедливо не более как для значений .

Система из двух функций , является линейно зависимой, если

,

если же

на ,

то система функций линейно независимая на отрезке .

Определение. Определителем Вронского, составленным для функций на отрезке , называется определитель вида

.

Теорема 2. Для того, чтобы система функций , являющихся решением ЛОДУ, была линейно независимой на необходимо и достаточно, чтобы определитель Вронского, составленный для этих функций, был отличен от нуля при любых .

 

Нахождения решения ЛНДУ

Метод вариации произвольных постоянных – это есть метод нахождения решения (частного или общего) ЛНДУ, если известна фундаментальная система решений соответствующего ЛОДУ. Он состоит в варьировании произвольных постоянных в общем решении соответствующего ЛОДУ.

Рассмотрим метод вариации нахождения решения для ЛНДУ второго порядка. Для линейного уравнения -го порядка сохраняются те же рассуждения.

Пусть дано ЛНДУ

, (1)

и известна фундаментальная система решений соответствующего ему ЛОДУ

. (2)

Общее решение ЛОДУ будет (теорема 3). Так как левые части уравнений (1) и (2) совпадают, то естественно искать решение уравнения (1) в таком же виде, как и решение уравнения (2), немного изменив его, т.е. заменяя произвольные постоянные пока неизвестными функциями и , которые должны быть дважды дифференцируемыми.

Итак, решение уравнения (1) будем искать в виде:

. (3)

Нужно подобрать и таким образом, чтобы (3) было решением уравнения (1). Для этого подставим функцию (3) в уравнение (1). Получим равенство, содержащее неизвестные функции и . Другое равенство, содержащее эти функции, можем задать произвольно. Предварительно найдем

.

Очевидно, что производная от этого выражения будет иметь довольно громоздкий вид. Чтобы производная , а следовательно и имели более

простой вид, полагаем, что и удовлетворяют условию

. (4)

Тогда производные , примут вид

, (5)

. (6)

Подставляя (3), (5) и (6) в уравнение (1), получим

Далее, группируем слагаемые, содержащие и , и выносим их за скобки:

Так как – решения ЛОДУ (2), то выражения в скобках равны нулю. В итоге получаем равенство

(7)

Равенство (7) является результатом подстановки функции (3) в уравнение (1) Но равенство (7) получено при условии выполнения (4). Итак, чтобы (3) было решением уравнения (1) и должны быть решениями системы уравнений

(8)

Данная система – система неоднородных линейных уравнений относительно неизвестных и . Ее определитель

есть определитель Вронского, составленный для линейно независимых частных решений . Тогда по теореме 2 он отличен от 0 во всех рассматриваемых

точках и система (8) имеет единственное решение , .

Откуда

где – произвольные постоянные. Подставляя найденные в (3), получаем

(9)

общее решение уравнения (1). Если положить в (9) , то получим частное решение ЛНДУ (1).

Для ЛНДУ -го порядка общее решение ищется в виде

,

где – фундаментальная система решений соответствующе-го ЛОДУ, а определяются из следующей системы уравнений

Общее решение ЛНДУ запишется в виде

.

 

Формула Лиувилля

Формула Лиувилля позволяет выразить определитель Вронского решений ЛОДУ через коэффициенты уравнения.

Выведем эту формулу для ЛОДУ 2-го порядка:

(1)

Пусть – фундаментальная система решений уравнения (1). Вычислим определитель Вронского, составленный для этих функций:

.

 

Так как – решения уравнения (1), то получаем следующие равенства:

(2)

Будем рассматривать (2) как систему уравнений с неизвестными и :

()

Из этой системы найдем . Для этого вычислим

,

.

Тогда

Разделяя переменные и интегрируя, получим

, ,

. (3)

Эта формула и называется формулой Лиувилля. Другая запись формулы:

.

Полагая , получим и формула Лиувилля принимает вид:

.

Для уравнения го порядка

формула Лиувилля имеет такой же вид:

,

где коэффициент при , и получена она может быть с помощью аналогичных рассуждений.

 

Основные понятия

Определение. Уравнение вида

линейное относительно функции и ее производных называется линейным дифференциальным уравнением -го порядка (ЛДУ).

Здесь – известные функции, определенные на и называемые коэффициентами уравнения. Не ограничивая общности, можно считать коэффициент при старшей производной равным единице. Действительно, в противном случае можно разделить обе части уравнения на в . В результате получим уравнение вида

. (1)

Теорема о существовании и единственности решения ЛДУ.

Если коэффициенты уравнения и являются непрерывными на , то уравнение (1) имеет единственное решение , определенное на том же отрезке и удовлетворяющее начальным условиям:

,

где .

Определение. Если в уравнении (1) , то уравнение называется линейным однородным дифференциальным уравнением (ЛОДУ). В противном случае, оно называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением (ЛНДУ).

Запишем уравнение (1) кратко в виде , где

.

называется линейным дифференциальным оператором. Он показывает, какие действия надо произвести над , чтобы получить левую часть уравнения (1).