Схема исследования и решения СЛУ

 

1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если , то система несовместна.

2. Если , то система совместна. Найти какой-либо базисный минор порядка (напоминание: минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным). Взять уравнений, из коэффициентов которых составлен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, коэффициенты которых входят в базисный минор, называются базисными и оставляют слева, а остальные неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений.

3. Найти выражения базисных неизвестных через свободные. Полученные выражения являются общим решением системы.

4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения базисных неизвестных. Таким образом, можно найти частные решения исходной системы уравнений.

Пример 5.6. Исследовать на совместность СЛУ. В случае совместности решить систему.

Решение. Составляем расширенную матрицу и преобразуем ее:

~ ~ ~

 

~

. Значит, система линейных уравнений совместна. Так как ранг матриц меньше числа неизвестных (), то система имеет бесчисленное множество решений.

Исходная система свелась к ступенчатой:

Так как , то находим какой-либо базисный минор 3-го порядка. Например,

.

Следовательно, неизвестные будут базисными, а неизвестная - свободной. Из последнего уравнения выражаем через . Потом находим через . Таким образом, получаем

Пусть , где - любое действительное число. Тогда получаем общее решение системы

,

где - любое действительное число.

,

Если в примере 5.6. в общее решение вместо подставить значение, например , то получаем частное решение . Если подставить , то получаем частное решение .

 

 

5.4.Системы линейных однородных уравнений

 

Рассмотрим однородную систему линейных уравнений

Очевидно, что однородная система всегда совместна (), она имеет нулевое (тривиальное) решение .

При каких условиях однородная система имеет и ненулевые решения?

 

Теорема 5.5. Однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных.

Доказательство. Пусть - ранг системы, - число неизвестных.

Необходимость. Так как ранг не может превышать размера матрицы, то . Пусть . Тогда один из миноров размера отличен от нуля. Поэтому система линейных уравнений имеет единственное решение: . Значит, других, кроме тривиальных, решений нет. Итак, если есть нетривиальное решение, то .

Достаточность. Пусть . Тогда однородная система, будучи совместной, является неопределенной. Значит, она имеет бесчисленное множество решений, т.е. имеет и ненулевые решения.

,

Теорема 5.6. Однородная система линейных уравнений с неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е. .

Данную теорему примем без доказательства.

 

Пример 5.7. Решить систему уравнений

Решение. Найдем ранг основной матрицы:

~ ~ .

, где - число неизвестных. Значит, система имеет бесчисленное множество решений. Так как , то неизвестные - базисные, а - свободная. В результате получаем

Û

Пусть , где - любое действительное число. Тогда общее решение имеет вид: , где - любое действительное число.

,

 

 

ЗАДАНИЯ И ВОПРОСЫ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

ПО РАЗДЕЛУ 1

«ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ»

 

МАТРИЦЫ

 

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ

 

1. Сформулировать определение матрицы. Как обозначаются элементы матрицы?

2. Какие матрицы называются равными?

3. Какие виды матриц Вы знаете?

4. Студенту дали задание, написать единичную матрицу 3-го порядка. Он сделал следующую запись: . Правильно ли он написал единичную матрицу? Ответ обоснуйте.

5. Какие операции над матрицами называются линейными? Дайте им определения.

6. Сформулируйте свойства, которыми обладают линейные операции.

7. Какие матрицы называются согласованными?

8. Дайте определение произведения матриц и .

9. Сформулируйте свойства, которыми обладает произведение матриц.

10. Что называют целой положительной степенью квадратной матрицы ?

11. Дайте определение многочлена от матрицы .

12. Какая матрица называется корнем многочлена ?

13. Устно проверьте, будет ли матрица корнем многочлена

. Ответ обоснуйте.

14. Какие преобразования являются элементарными?

15. Какие две матрицы и называются элементарными?

16. Какая матрица называется транспонированной относительно данной?

17. Студенту было дано задание: «Найти матрицу, транспонированную для

матрицы ». Он получил следующий ответ: . Правильный ли результат? Ответ обоснуйте.

 

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ