Решим для контроля эту же систему линейных уравнений с помощью программы Excel.

 

 

Итак, получаем следующее решение: , , .

 

- Согласуется ли решение математической задачи условию прикладной задаче?

- Решение удовлетворяет условию , , но не удовлетворяет условию целочисленности.

- Что для этого надо сделать?

- Необходимо округлить значения неизвестных до целых, не учитывая правило округления. В результате получим: , , .

Проверка:

- Сформулируйте полученный ответ согласно условию прикладной задачи.

Ответ: для разрезания I способом нужно взять 43 прутка, II способом – 103 прутка, III – 42. Всего необходимо взять 43+103+42=188 прутков. При этом получим (см) отходов.

 

ЭТАП: Исследование

- Возможно ли построение другой математической модели?

- ……..

Замечание: для производственных задач данного класса математической моделью является система линейных уравнений.

- Возможно ли получение другого ответа?

- Если воспользоваться другими способами разрезания из 10-ти рассмотренных, то получили бы другой ответ. Например, если взять 1, 3 и 10 способы разрезания, то получили бы следующую математическую модель

при дополнительном условии: , где .

В результате получили бы , , . А с условием целочисленности: , , . Тогда для разрезания I способом нужно взять 56 прутков, II способом – 80 прутков, III – 62. Всего необходимо взять 56+80+62=198 прутков. При этом получим (см) отходов.

Этот случай менее экономичный, так как больше остается отходов.

 

Замечание: даже для построенной математической модели во втором случае можно получить несколько другой ответ.

Если последовательно найти целочисленные значения , , то тогда . В результате получим несколько иной ответ.

Ответ: для разрезания I способом нужно взять 43 прутка, II способом – 103 прутка, III – 43. Всего необходимо взять 43+103+43=189 прутков. При этом получим (см) отходов.

 

Задача 2 (задача линейных электрических цепей постоянного тока).

В электрической цепи

. Требуется определить токи в ветвях.

 

Решение.

ЭТАП: Подготовительный

Данная задача относится к физическим задачам.

Электрическая схема имеет два узла и три ветви. Для решения задачи используются законы Кирхгофа.

 

Расчет электрических цепей с помощью законов Кирхгофа целесообразно проводить в следующем порядке.

1. Определить число узлов и число ветвей в электрической цепи. В соответствие с этим найти количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.
2. Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно выбрать их направления. Выбрать независимые замкнутые контуры электрической цепи таким образом, чтобы в каждый контур, во-первых, входило возможно меньшее число ветвей и, во-вторых, чтобы в каждый последующий контур входило хотя бы одна новая ветвь. Произвольно задаться направлением обхода контуров.
3. Составить уравнение по первому закону Кирхгофа. При этом считать положительными токи, входящие в узел, а отрицательными – выходящие из узла, или наоборот.
4. Составить уравнений по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях ЭДС берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Падение напряжений на сопротивлениях в замкнутом контуре электрической цепи берется со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком «-», если не совпадает.
5. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным. Направлениям этих токов на схеме обратные.

 

На схеме электрической цепи обозначены узлы: 1 и 2. Обозначим на схеме токи в ветвях и стрелками произвольно укажем их положительные направления. Выберем два независимых контура и стрелками покажем направление их обхода.

 

ЭТАП: Построение математической модели

Пусть силы тока для каждой ветви соответственно , и . Тогда по первому закону Кирхгофа (для узла 2) получаем

,

или

.

По второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров I и II имеем:

,

.

Подставляя значения сопротивлений и ЭДС в уравнения, получаем следующую математическую модель (систему линейных уравнений):

Û

 

ЭТАП: Решение математической задачи

Систему уравнений решаем методом Гаусса.

~ ~ .

Переходим к эквивалентной системе уравнений:

Û

Используя программы Excel, получаем:

 

 

ЭТАП: Интерпретация решения математической задачи, исходя из условия прикладной задачи

Итак, получаем , и . Знак «-» в числовом значении говорит о том, что ток течет в противоположном направлении в отличие выбранному.

Замечание: в данной задаче численные значения силы тока могут принимать дробные значения и отрицательные значения. В ответ записываем значения по модулю и округленными до трех знаков после запятой.

 

Ответ: силы тока в каждой ветви соответственно равны , и .

 

ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ

 

1. К концу шнура, перекинутого через блок, подвешены грузы и , причем . Пренебрегая трением и считая шнур и блок невесомыми, а шнур нерастяжимым, определить ускорения, с которыми будут двигаться грузы, силу натяжения шнура и показания динамометра, на котором висит блок.

 

2. Через невесомый блок, укрепленный на ребре призмы, грани которой

3.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

 

Методическая карта 1