Методы нахождения обратной матрицы

 

1) Метод присоединенной матрицы.

Из выше изложенного вытекает следующий алгоритм построения обратной матрицы методом присоединенной матрицы.

1. Вычислить определитель . Если , то не существует.

2. Если , то составляем присоединенную матрицу из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

3. По формуле (3.2) составляем матрицу .

 

2) Метод с использованием элементарных преобразований матриц.

Матрица записывается в виде , где за вертикальной чертой приписывается единичная матрица того же порядка, как и матрица A. После использования элементарных преобразований получаем матрицу вида , т.е.

.

 

3) Использование программы Excel пакета Microsoft Office. Для вычисления определителя из математических функций используется МОБР (массив).

 

Пример 3.3. Найти матрицу, обратную матрице A двумя способами, если

.

Решение. 1) Найдем матрицу, обратную данной, используя метод присоединенной матрицы.

Находим определитель матрицы A.

Находим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы A.

По аналогии находим остальные алгебраические дополнения:

.

Получаем обратную матрицу

.

 

2) Найдем матрицу, обратную данной, используя элементарные преобразования матрицы.

 

[умножаем первую строку на (-2) и складываем со второй строкой,

складываем первую и третью строки]

 

 

[умножаем вторую строку на (-2) и складываем с третьей строкой]

 

[делим вторую строку на (-2) а третьей строкой - на 7]

 

 

[умножаем третью строку на и складываем со второй строкой,

складываем третью и первую строки]

 

[умножаем вторую строку на (-1) и складываем с первой строкой]

 

Итак, .

 

3) Открываем экран Excel. Последовательно заносим в ячейки элементы матрицы в виде массива. Например, ячейки B3:D5. Входим в диалоговое окно - Мастер функций. Выбираем категорию: математические функции. Из предложенных выбираем функцию МОБР (массив). Нажимаем ОК (Рис. 1).

Рис. 1. Диалоговое окно Мастер функций

В диалоговое окно Аргументы функции в ячейку Массив вносим B3:D5. В выделенной ячейке, например, B7 появляется надпись: =МОБР(B3:D5) (рис. 2). Нажимаем ОК.

В выделенной ячейке (в нашем случае это B7) появляется элемент первой строки и первого столбца обратной матрицы.

 

 

Рис. 2. Диалоговое окно Аргументы функции

Выделяем диапазон (количество ячеек, как и у исходной матрицы, для которой находим обратную), начиная с той, в которой введена формула, например, B7:D9. Нажимаем клавишу F2. Затем нажимает клавиши Ctrl+Shift+Enter. В результате получаем обратную матрицу (Рис. 3).

 

Рис. 3. Обратная матрица

Замечание. Компьютер вычисляет значения элементов обратной матрицы до 16 знаков после запятой. В данном примере получили значения с 5-6 знаками после запятой, что поместилось в ячейках.

,

 

 

4. РАНГ МАТРИЦЫ

 

4.1. Определение. Свойства ранга матрицы

 

Рассмотрим матрицу A размера m ´ n

 

.

Выделим в ней k строк и k столбцов . Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k -го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Определение 4.1. Минором k-го порядка матрицы A называется определитель, образованный элементами, стоящими на пересечении произвольно выбранных k строк и k столбцов. Обозначается минор k -го порядка матрицы A следующим образом: , где - номера выбранных строк, - номера выбранных столбцов.

Например, рассмотрим матрицу

.

Миноры - есть миноры 1-го порядка; миноры - есть миноры 2-го порядка, - минор 3-го порядка.

 

Определение 4.2. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается или .

Очевидно, что , где - меньшее из чисел m и n.

 

Определение 4.3. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Пример 4.1. Найти ранг матрицы:

.

Решение. Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 2-го порядка, отличный от нуля – это . Значит, . Все остальные миноры 2-го порядка равны нулю, поэтому минор является базисным.

,

Отметим свойства ранга матрицы:

1. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется.

2. Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменяется.

3. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.