Решение треугольника по стороне и двум углам.

Ответы по геометрии для 9 класса

 

1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).

Решение треугольника по стороне и двум углам.

Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».

Задача по теме «Длина окружности».

5. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

Задача по теме «Неравенство треугольника».

8. Третий признак равенства треугольников (формулировка и пример).

Теорема об углах, вписанных в окружность.

Задача по теме «Площадь».

Задача по теме «Трапеция».

12. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

Решение треугольника по трем сторонам.

Задача по теме «Средняя линия трапеции».

Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Свойство углов равнобедренного треугольника.

Задача по теме «Подобие треугольников».

Задача по теме «Параллелограмм».

Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Признак равнобедренного треугольника.

Задача по теме «Подобие треугольников».

Задача по теме «Прямоугольник».

Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Свойство медианы равнобедренного треугольника.

Задача по теме «Подобие треугольников».

Задача по теме «Ромб. Квадрат».

Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

Окружность, вписанная в треугольник.

Задача по теме «Параллельные прямые».

Задача по теме «Теорема Пифагора».

Теорема синусов. Пример ее применения для решения треугольников.

Окружность, описанная около треугольника.

Задача по теме «Сумма углов треугольника».

Задача по теме «Трапеция».

Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.

Сложение векторов. Свойства сложения векторов.

Задача по теме «Многоугольники».

Умножение вектора на число. Свойство произведения вектора на число.

Задача по теме «Многоугольники».

40. Задача по теме «Свойства прямоугольного треугольника, у которого один угол равен 30°».

Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.

Неравенство треугольника.

Задача по теме «Параллелограмм».

Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».

Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.

Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).

Задача по теме «Прямоугольник».

Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».

Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.

Теорема о средней линии треугольника.

Задача по теме «Ромб. Квадрат».

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

53. Свойство параллелограмма (формулировки и примеры).

Теорема о внешнем угле треугольника.

Задача по теме «Признаки равенства треугольников».

Задача по теме «Площадь».

57. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).

Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

Задача по теме «Признаки равенства треугольников».

Задача по теме «Решение прямоугольных треугольников».

61. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

Свойство диагоналей ромба.

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

Задача по теме «Подобие треугольников».

65. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырехугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры).

Свойство диагоналей прямоугольника.

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

Задача по теме «Параллельные прямые».

Первый признак равенства треугольников.

Задача по теме «Площадь».

Задача по теме «Многоугольники».

72. Формулы площади треугольника (формулы и примеры).

Признак параллелограмма.

Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

Задача по теме «Углы, вписанные в окружность».

76. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры).

Второй признак равенства треугольников.

Задача по теме «Средняя линия треугольника».

79. Формула площади трапеции (формула и пример).

Признак равенства прямоугольных треугольников.

Задача по теме «Векторы».

Задача по теме «Окружность, вписанная в треугольник».

83. Формула площади круга (формула и пример).

Теорема Пифагора.

Задача по теме «Окружность, описанная около треугольника».

Решение треугольника по стороне и двум углам.

Решить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам — это значит при заданных стороне и двум прилежащим к ней углам найти третий угол и две другие стороны.



Единственность решения вытекает из признака равенства треугольников:

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

 

 

Задача по теме «Площадь».

Найдите площадь ромба, если его диагонали равны 6 см и 8 см.

Решение. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, поэтому они делят ромб на четыре равных прямоугольных треугольника. Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то катеты каждого из этих треугольников равны 3 см и 4 см;

 

 

Задача по теме «Трапеция».

 

 

12. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

Примеры.

1. В треугольнике один из углов равен 29°, другой 91°. Найдите его третий угол.

Решение. Третий угол треугольника равен

180° - (29° + 91°) = 180° - 120° = 60°.

2. Найдите острые углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 180° - 90° = 90°. Так как острые углы в равнобедренном прямоугольном треугольнике равны, то каждый из них равен 90°: 2 = 45°.

3. Найдите углы равностороннего треугольника.

Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма углов равностороннего треугольника равна 180°. Так как в равностороннем треугольнике все углы равны, то каждый из них равен 180°: 3 = 60°.

 

 

Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите: а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а;

б) катеты треугольника а и Ь если даны гипотенуза с и один из острых углов а (рис. 12).





2. На вершину горы идет канатная дорога длиной 1,2 км, составляющая угол 60° с высотой горы. Чему равна высота горы?

Решение. Обозначим длину канатной дороги через с, высоту горы через Л, а угол между канатной дорогой и высотой горы через (3 (рис. 13).

Дано: с = 1,2 км, р = 60°.

Найти: h.

Решение. Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Поэтому а = 30°. Отсюда

 

 

Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите:

а) гипотенузу с и катет а, если даны катет Ъ и прилежащий к нему угол а;

б) катеты треугольника а и Ь, если даны гипотенуза с и один из острых углов а (рис. 16).



2. Угол между лестницей эскалатора и полом зала равен 150°. Какова длина лестницы эскалатора, если подошва лестницы равна 117м?

 

 

Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего

катета к прилежащему:

о

Примеры.

1. Дан прямоугольный треугольник. Найдите:

а) гипотенузу с и катет Ь, если даны катет а и противолежащий ему угол а;

б) гипотенузу с и катет а, если даны катет ь и прилежащий к нему угол а (рис. 20).



2. Под каким углом падает на землю луч солнца, если вертикально воткнутый в землю шест возвышается над землей на 18 м и отбрасывает тень, равную 6 73 (рис. 21)?

Обозначим длину шеста через а, длину тени шеста через Ь, а угол, под которым на землю падает луч солнца, через а.

 

 

Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов катетов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

 

 

Теорема синусов. Пример ее применения для решения треугольников.

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов (рис. 29):

Пример.

Основание треугольника равно 10 см, один из углов при основании равен 45°, а противолежащий основанию угол равен 60°. Найдите сторону, противолежащую углу в 45°.

 

 

Задача по теме «Трапеция».

Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

 

 

Неравенство треугольника.

Если точки А и В различны, то расстоянием между ними называется длина отрезка АВ. Если точки А и В совпадают, то расстояние между ними принимается равным нулю.

[П] Каковы бы ни были три точки, расстояние между любыми двумя из этих точек не больше суммы расстояний от них до третьей точки.



Доказательство. Если две точки из трех или все три точки совпадают, то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя другими, например В. В этом случае АВ + ВС = АС. Отсюда видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы расстояний до двух других.

Допустим, что все точки различны и не лежат на одной прямой (рис. 46). Докажем, что АВ < АС + + ВС. Опустим перпендикуляр CD на прямую АВ. По доказанному АВ < AD + BD. Так как AD < АС и BD < ВС, то АВ < АС + ВС. Теорема доказана.

Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной прямой, в неравенстве треугольника строгое неравенство. Отсюда следует, что в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.

[А] Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

 

 

Задача по теме «Площадь».

 

 

57. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).

Средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пример.

 

 

Свойство диагоналей ромба.

Дано: ABCD — ромб, АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей.

Доказать: AC BD, АС и BD — биссектрисы углов ромба.

Доказательство. Рассмотрим ромб ABCD (см. рис. 61). По свойству параллелограмма АО = ОС. Значит, в треугольнике ABC отрезок ВО является медианой. Так как ABCD — ромб, то АВ = ВС и треугольник ABC — равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Аналогично рассматривается AABD. Теорема доказана.

 

 

Задача по теме «Площадь».

ABCD — трапеция. Докажите, что треугольники ABD и ACD имеют равные площади.

Дано: ABCD — трапеция.

Доказать:

Доказательство. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на проведенную к нему высоту. Треугольники ABC и ACD имеют общее основание AD. Противоположные стороны четырехугольника KBCL параллельны, так что этот четырехугольник — параллелограмм. Поэтому противоположные стороны KB и CL равны, т. е. треугольники ABD ACD имеют равные высоты, проведенные к основанию AD. Следовательно, , что и требовалось доказать.

 

 

Признак параллелограмма.

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник, АС и BD — диагонали, OD = ОВ, ОА = ОС, О — точка пересечения ВПиАС.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство. Треугольники AOD и COD равны (рис. 68). У них углы при вершине О равны как вертикальные, а OD = ОВ и ОА = ОС по условию теоремы.

Значит, углы ОВС и ODA равны. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и ВС и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые АВ и CD параллельны. Так же доказывается параллельность прямых АВ и СВ с помощью равенства треугольников АОВ и COD.

Так как противолежащие стороны четырехугольника параллельны, то по определению этот четырехугольник — параллелограмм. Теорема доказана.

 

 

Задача по теме «Векторы».

 

 

Теорема Пифагора.

 

 

Ответы по геометрии для 9 класса

 

1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).

Решение треугольника по стороне и двум углам.